二次型

二次型的系統研究是從18世紀開始的，它起源於對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀引進的。柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次型的符號來進行分類。然而，那時並不太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了n個變數的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律后被雅克比重新發現和證明。1801年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。

二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特徵方程的概念。特徵方程的概念隱含地出現在歐拉的著作中，拉格朗日在其關於線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數的二次型的特徵值的實性則是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson，1781~1840）建立的。

柯西在別人著作的基礎上，著手研究化簡變數的二次型問題，並證明了特徵方程在直角坐標系的任何變換下不變性。後來，他又證明了n個變數的兩個二次型能用同一個線性變換同時化成平方和。

1851，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個二次型的不變數的完全集”這一結論。

1858年，維爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，並證明，如果二次型之一是正定的，那麼即使某些特徵根相等，這個化簡也是可能的。維爾斯特拉斯比較系統的完成了二次型的理論並將其推廣到雙線性型。

線性代數的重要內容之一，它起源於幾何學中二次曲線方程和二次曲面方程化為標準形問題的研究。二次型理論與域的特徵有關。

若V是域F上的線性空間,q是從V到F的一個映射，使q(x)=φ(x,x)，x∈V,式中φ是V上的對稱雙線性型，則q稱為V上的二次型。當域F的特徵不為2時，則φ由q惟一決定。此時φ(x,x)稱為V上的二次型或二次齊式，而φ(x,y)稱為此二次型的極型。若{e1,e2,…,en}為V的基底，則

，於是，二次型φ(x,x)可表為

式中,

，j,k=1,2,…,n。令

則

,j,k=1,2,…,n。於是(1)可惟一地表為對稱形式

式中

是對稱矩陣，且稱為二次型φ(x，x)在基底e1，e2,…，en之下的矩陣。A的秩rankA稱為此二次型的秩，記為rankφ。當V的基底改變時，即

，二次型φ(x,x)在新基底e姈,e娦，…，eń之下的矩陣變成B=PAP，仍為對稱矩陣，且與A是合同的。所以，研究二次型的合同性可歸結為研究對稱矩陣的合同性。

V上的二次型也可看成F上的變元x1,x2,…,xn的二次齊次函數，又稱為n元二次齊式或n元二次型，它與對稱矩陣和對稱雙線性型都是一一對應的。當F為實數域R時，可以證明必有V的一組基底使二次型φ(x,x)有如下的形式

， (3)

式中p+q=rankA。(3)稱為實二次型φ(x，x)的實標準形。若(3)中的係數不限於±1，則(3)又可化為

，(4)並稱為實二次型φ(x,x)的實對角型。式中αj、bk均大於零。所謂慣性定理，即實二次型φ(x,x)中的p、q、p┡、q┡必滿足p=p┡，q=q┡,亦即(3)中的p、q或(4)中的p┡、q┡是由φ(x,x)惟一決定的合同不變數，分別稱之為φ(x,x)的正、負慣性指標，而s=p-q稱為φ(x,x)的符號差。易知，rankφ、s、p、q四個數都是合同不變數，其中任意兩個都可惟一決定標準形(3)。

當 F為複數域

時，作為實二次型的推廣有所謂埃爾米特二次型。若

為

上的線性空間，從

到

的映射φ滿足

，

，式中x,y在

中，α1、α2在C 中，則φ稱為

上的埃爾米特雙線性型。由此可推出

,式中x、yj在V中,

、

是b1、b2的共軛複數，均在

中。此時φ(x,x)稱為埃爾米特二次型。易知，φ(x,x)∈R。若{e1,e2,…,en}是V 的基底,

，則

，式中

，

，且

。因此，當

的基底取定時，埃爾米特二次型φ(x，x) 則由一個埃爾米特矩陣惟一確定。實二次型的基本性質都可推廣到埃爾米特二次型上。例如，將(3)、(4)中的y嵃、y

分別換為

、

,就得其標準形與對角型；也可定義其正或負慣性指標、符號差，建立其慣性定理。

所謂正定（恆正）的埃爾米特二次型或正定的實二次型φ(x,x)是指對於V的非零向量x,有φ(x,x)>0。可以證明，對於φ(x,x)，下述的命題是等價的：①φ(x,x)是正定的。②A是正定矩陣。③有非奇異矩陣Q使A=Q

Q，式中Q

表Q的共軛轉置矩陣。④有對角元全為正的上三角矩陣M,使A=MM,式中M表M的共軛轉置矩陣。⑤A的所有主子式全為正。⑥A的j階主子式之和全為正,j=1,2,…,n，這裡n=dimV。⑦A的所有左上角主子式(順序主子式)全為正。⑧A 的所有特徵值全為正。⑨φ(x，x)的正項指標p =n，這裡n=dimV。

若將上述正定定義中的“>”,分別換為"≥"、“<”和“≤”，即得出φ(x,x)關於半正定、負定和半負定的定義。這些定義之外的其他情形，稱為不定型。若將上述的⑤、⑥、⑧中的“正”改為“非負”，則得半正定的充分必要條件。φ負定即-φ正定,φ半負定即－φ半正定，由此可得出負定、半負定的某些充分必要條件。

埃爾米特二次型與實二次型分別在酉變換與正交變換下的性質，無論是在理論上還是在實用上都具有重要的意義。在酉變換（正交變換）下，化埃爾米特二次型(實二次型)為標準形時，可先在

的任一基底下找出埃爾米特二次型對應的埃爾米特矩陣A，再求出A的全部特徵值，即得φ(x,x)的標準形

,式中的(y1，y2,…,yn)是x在V某一基底下的坐標；λ1,λ2，…,λn是φ(x,x)在V的任意基底下的對應矩陣A的全體特徵值。埃爾米特矩陣必有n個線性無關的特徵向量。令以λ1，λ2，…，λn為對角元的對角矩陣

，則M的列向量依次為各λj對應的A的特徵向量，將這些向量正交化，即得所求的酉矩陣。實二次型為埃爾米特型的特例，所以也可用此方法求出實二次型的正交矩陣。

二次型的理論在物理學、幾何學、概率論等學科中都已得到了廣泛的應用。在二次型的研究中已由域上二次型的算術理論發展到環上二次型的算術理論，它們與代數數論、數的幾何等都有密切的聯繫。此外，在多重線性代數中使用二次型還可定義比外代數更廣的克利福特代數。