開映射定理

開映射定理有一些重要的結果：

如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元，那麼逆運算元A : Y → X也是連續的。(Rudin 1973, 推論2.12) 如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的線性運算元，且如果對於X內的每一個序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y = 0，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)

我們需要證明，如果A : X → Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。

設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數k U的序列的交集，k ∈ N，且由於A是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v ∈ V，那麼c + r v和c位於B(c, r)內，因此是A(k U)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是A(k U) − A(k U) ⊂ A(2k U)的極限點。根據A的線性，這意味著任何v ∈ V都位於A(δ U)的閉包內，其中δ = r / (2k)。於是可以推出，對於任何y ∈ Y和任何ε > 0，都存在某個x ∈ X，滿足：

且 固定y ∈ δ V。根據(1)，存在某個x 1，滿足||x 1|| < 1且||y − A x 1|| < δ / 2。定義序列{xn}如下。假設：

且 根據(1)，我們可以選擇x n +1，使得：

且 因此x n +1滿足(2)。設

從(2)的第一個不等式可知，{sn}是一個柯西序列，且由於X是完備的，sn收斂於某個x ∈ X。根據(2)，序列A sn趨於y，因此根據A的連續性，有A x = y。而且：

這表明每一個y ∈ δ V都屬於A(2 U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin, 定理2.11)：

設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果A : X → Y是一個連續線性運算元，那麼要麼A(X)是Y內的貧集，要麼A(X) = Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那麼A有一個標準分解，形如下式：

其中X / N是X對閉子空間N的商空間（也是F空間）。商映射X → X / N是開放的，且映射α是拓撲向量空間的同構(Dieudonné, 12.16.8)。

Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press 本文含有從 PlanetMath 上的 Proof of open mapping theorem 來的材料，版權遵守 知識共享 署名-相同方式共享 協議。