巴拿赫空間

一種賦有“長度”的線性空間，泛函分析研究的基本對象之一。數學分析各個分支的發展為巴拿赫空間理論的誕生提供了許多豐富而生動的素材。從K.（T.W.）外爾斯特拉斯以來，人們久已十分關心閉區間【α,b】上的連續函數以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族連續函數之列緊性的判斷準則，後來十分成功地用於常微分方程和複變函數論中。1909年F.（F.）里斯給出C【0,1】上連續線性泛函的表達式，這是分析學歷史上的重大事件。還有一個極重要的空間，那就是由所有在【0,1】上p次可勒貝格求和的函數構成的Lp空間(1希爾伯特空間。正是基於這些具體的、生動的素材，S.巴拿赫與N.維納相互獨立地在1922年提出當今所謂巴拿赫空間的概念，並且在不到10年的時間內便發展成一部本身相當完美而又有著多方面應用的理論。

定義 對於實(或復)數域K上的線性空間X，若有從X到R的函數‖x‖使得：①‖x‖≥0,‖x‖=0必須且只須x=0,②對α ∈K,有‖αx‖=α‖x‖,③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,則稱X為線性賦范空間，而稱‖x‖為范數。

顯然，范數這概念是Rn中向量長度概念的推廣。如同有理數系可完備化為實數系，任何線性賦范空間也可按照距離d(x,y)=‖x-y‖作為度量空間而完備化。

完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。例如，設Ω為緊豪斯多夫空間，令C(Ω)表示Ω上一切實(或復)值連續函數的全體，則C(Ω)關於范數成為一個巴拿赫空間。再如，設(Ω,μ)是正測度空間，令Lp(Ω，μ)表示Ω上一切p（p≥1）次可求和函數的全體，則Lp(Ω,μ)關於范數成為一個巴拿赫空間。特別取Ω={1,2,3,…},μ(n)＝1(當n＝1、2、3、…)則相應的Lp(Ω,μ)成為滿足條件的數列的全體，而相應的范數為。一般記這個特殊的Lp（Ω,μ）為lp。還如，設(Ω,β，μ)是正測度空間，對Ω上可測的函數ƒ(t),如果有正數α，使於Ω幾乎處處有│ƒ｜(t)｜≤α，則稱 ƒ(t)為本性有界的函數，而記上述諸α之下確界為。令L∞(Ω)表示Ω上之本性有界函數的全體，則L∞(Ω)關於范數成為一個巴拿赫空間。特別對Ω={1,2,3,…}而μ(n)=1(n=1,2,3,…)則相應的L∞(Ω)即有界數列的全體，而相應的范數為。一般記這個特殊的L∞(Ω)為m。

若,則稱強收斂於x,簡寫作。

基 作為完全就範直交函數系的推廣，設是巴拿赫空間X中的序列，如果對每個x ∈X 都恰有一數列，使，則稱為X 的基，而稱X為有基的空間。凡有基的空間一定是可分的，對於許多可分空間，人們具體地構造出它們的基。但是，是否每個可分的巴拿赫空間都有基的問題，直到1973年才由P.恩夫洛舉出反例。確有可分而沒有基的巴拿赫空間。

對偶空間 設 ƒ(x)是從實(或復)域ƒ上賦范線性空間X到ƒ上的線性函數。若ƒ(x)還是連續的，則稱ƒ(x)為連續線性泛函。一切如此的ƒ(x)按范數構成的巴拿赫空間，便稱為X的對偶空間(或共軛空間)並記作X*（或X┡）。

在許多數學分支中都會遇到對偶空間，例如矩量問題、偏微分方程理論等。一些物理系統的狀態也常與適當空間上的線性泛函聯繫在一起。至於泛函分析本身，對偶空間也是極為重要的概念。通過X*,能更好地理解X。

里斯表現定理 設Ω是緊豪斯多夫空間，則於復的C(Ω)上的連續線性泛函ƒ(x)，便恰有Ω上的一個復正則波萊爾測度μ使

(1)

並且‖ƒ‖=μ在Ω上的全變差 |μ|。許多人把這結果稱作里斯表現定理。它是發展近代運算元譜論的重要工具，還有著其他多方面的應用。這定理也可推廣至局部緊豪斯多夫空間。許多測度來源於此定理。

設Ω上所有復的正則波萊爾測度為m(Ω)，對每個μ∈m(Ω)，由(1)式定義的ƒ(x)是C(Ω)上的連續線性泛函，定義‖μ‖＝全變差|μ|,則C(Ω)*保范同構於m(Ω)。

例如，於正測度μ,有Lp(Ω,μ)(1

(2)

式中z(t)∈Lq(Ω,μ),而,並且。另一方面，由(2)式右端定義的泛函在【Lp(Ω,μ)】*中，總之【Lp(Ω,μ)】*保范同構於Lq(Ω,μ)。

再如，於δ-有限的正測度μ,有L1(Ω，μ)上的連續線性泛函ƒ(x)可表為

(3)

式中z(t)∈L∞(Ω,μ),並且

巴拿赫空間

另一方面，由(3)定義的泛函在【L1(Ω)】*中。總之,【L1(Ω,μ)】*保范同構於L∞(Ω,μ)。

由於古典分析發展的要求，也因為巴拿赫空間理論本身的需要，於是人們研究X與X*之間的關係，這便是對偶理論。這理論的主要工具是哈恩－巴拿赫擴張定理：設M是線性賦范空間X的閉線性子空間，則①對M上的連續線性泛函g(x),恆有ƒ(x)∈X*使ƒ(x)=g(x),當x∈M,又‖ƒ‖=‖g‖(

巴拿赫空間

);②對X中任給的x0≠0，恆有 ƒ(x)∈X* 使 ƒ(x0)=‖x0‖,‖ƒ‖=1，③對任意

巴拿赫空間

，恆有ƒ(x)∈X*當x∈M使得ƒ(x)=0，ƒ(x0)=1,並且‖ƒ‖=1/d，這裡。

設ƒ(x)∈X*,一般稱點集H={x∈X;ƒ(x)＝常數C}為X中的閉超平面。設M是X的子空間,x0∈X,則稱點集x0+M為X中的線性簇。這樣，哈恩－巴拿赫定理便有如下的幾何解釋：若X中的線性簇m與非空的開凸集K不相交，則有閉超平面H使而。

自反空間 對巴拿赫空間 X有對偶空間X*，而X*的對偶空間則記作X**,任給x0∈X,通過（當x*∈X*）便確定一個，並且。這表明存在映射τ把X保范地嵌入到X**中。一般X**。如果τ(X)＝X**，則稱X為自反空間。典型的自反空間是Lp【0,1】(1

弱收斂 無窮維巴拿赫空間的單位球是不可能按范數拓撲為緊的，因此許多有限維空間的命題都不能推廣到一般巴拿赫空間。針對這一點，人們引進弱收斂的概念。對X 中 與 x0，若於任何 x*∈X *都有，則稱弱收斂於x0，記作。

埃伯萊因－什穆利揚定理 巴拿赫空間X是自反的；必須且只須 X中任何按范數有界的點列都含有弱收斂的子序列。

利用自反空間的這個拓撲性質，便能證明如下的結果：設J(x)是自反空間X之有界凸閉集C上弱下半連續的有界泛函，則J(x)在C上達到最小值。

應該指出，正是為著使得一些重要的命題得以成立，人們才引進種種類型的巴拿赫空間，自反空間就是一個鮮明的例子。再如與上述極值問題的惟一性有關，有所謂球狀空間；與拉東-尼科迪姆定理相關，則有一致凸空間等等。

人們曾經長久地停留在序列弱收斂上。其實即使對於l2上的弱拓撲，只用序列弱收斂也是不行的。J.馮·諾伊曼首先看到這一點，並且在1930年就使用弱鄰域概念。

X上使得一切x*∈X* 都連續的最弱的拓撲稱為X上的弱拓撲。全體

巴拿赫空間

，其中

巴拿赫空間

,ε>0，n=1，2,…構成X 在O點的一個弱鄰域基。

X*上使得一切,x∈X都連續的最弱的拓撲稱為X*上的弱*拓撲。全體

,

其中,ε>0，n=1，2，…構成X *在O點的一個弱*鄰域基。

線性運算元 設T是從實（或復）域F上的線性空間X中線性流形M到F上的線性空間Y的映射，如果

則稱T是線性運算元,M為T的定義域，記作D(T)。特別當M=X 而Y為數域F 時，T 便稱為X上的線性泛函。

設X、Y都是賦范線性空間,x0∈D(T)，若對D(T)中任何收斂於x0的序列都有 Txn→Tx0，則稱T 在x0處連續。設D(T)=X, 則線性運算元T 在X 上每點都連續必須且只須T是有界的, 即。這時還稱

巴拿赫空間

為T的范數，記作‖T‖。

設X與Y都是數域F上的線性空間,A與B都是從X到Y的線性運算元，對A與B可定義如下的運算:(A+B)x=Ax+Bx，(αA)x=α(Ax),當x∈X,α∈F又定義(AB)x=A(Bx),x∈X，當 A與B都是從X到X的線性運算元時。若線性運算元T是單射的，則將它的逆映射記作T-1，而Ix=x則稱為單位運算元或恆等運算元。

設H為度量空間，，對 x0 ∈E, 若有小球，則稱x0在E的內部。若點集S的閉包埅之內部是空的，則稱S在H中無處稠密。若度量空間H中的點集，而每個Sn皆在H中無處稠密，則稱E為H中第一綱的點集。H中非第一綱的點集叫做第二綱的。顯然全體有理數在實軸上便是第一綱的。可以這樣想：第一綱的點集是比較稀疏的。

貝爾綱定理 完備的度量空間必定是第二綱的。這是區間套定理的發展和提高，在證明許多存在定理時是很有用處的。在勒貝格關於奇異積分與O.特普利茨關於正則求和法以及哈恩關於插值理論等方面的研究之後，巴拿赫與H.斯坦豪斯在1927年給出共鳴定理。

共鳴定理 又稱一致有界原理。設X是巴拿赫空間，Y是線性賦范空間,是一族從X到Y的有界線性運算元。如果當x∈X，則。這是有著多方面應用的重要定理，是綱定理的直接推論。和綱推理密切相關，還有極著名的開映射定理。

開映射定理 設X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y的有界線性運算元，且TX=Y,則T變X的開集為Y中的開集。這在有限維空間是平凡的，但在無限維空間卻是極為深刻有力的工具。它有下列重要推論。

巴拿赫逆運算元定理　設X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y的有界線性運算元，且T是一對一的，又TX=Y，則T-1連續。

開映射定理還有一個關於閉運算元的重要推論。設y=Tx是線性的，若從

恆有x0∈D(T)且,則稱T為閉運算元。閉運算元在應用上是非常重要的概念。表面上，閉性與連續性很相似，其實差異不小，因為連續性是從較少的假設xn→x0到更多的結論且。一般稱X×Y中之G(T)={；x∈D(T)}為 T的圖像。易見T是閉運算元，則G(T)按范數‖‖=‖x‖+‖y‖是閉的點集。

閉圖像定理 設X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y的線性運算元，則T是有界的必須且只須G(T)是閉的。

共軛運算元 設X與Y都是巴拿赫空間。若線性運算元T的定義域D(T)在X中稠密，而T 的值都在Y中，如果對有x*∈X*使當x∈D(T)時，y*(Tx)=x*(x)則x*由y*惟一確定，記作T┡y*=x*,一般稱T┡為T的共軛運算元或對偶運算元。特別當T是從X到Y的有界線性運算元時，則T┡也是有界的，且‖T┡‖=‖T‖。顯然，共軛運算元是轉置矩陣的推廣，所以它自然地在研究方程Tx=y時起著重要的作用。

設A為巴拿赫空間X上的線性運算元，稱N(A)={x;Ax=0}為A的零空間,R(A)={y;y=Ax,x∈D(A)}為A的值域。從線性方程組的解，已經看到A與A┡之值域與零空間的密切關係，後來在弗雷德霍姆理論中又再次看到這點。

對點集，所謂M在X*中的零化子即

而於點集，則G在X中之零化子即

。

設A為巴拿赫空間上有界線性運算元，則

,

,

,

。

若又設X 自反，則

。

閉值域定理 設X與Y是巴拿赫空間，而T是從X到Y的閉線性運算元，且，則下列命題等價：

①R(T)在Y 中是閉的，

②R(T┡)在X*中是閉的，

③

④。

參考書目

S.Banach,Théorie des Opérations Linéaires, Monografje Mathematyczne, Warsaw, 1932.

N.Dunford and J.T.Schwartz,Linear Operators, Part 1.General Theory,Interscience, New York, 1958.

A.E.Taylor and D.C.Lay,Introduction to functional Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1979.