3x+1猜想

比如說我們先取5，首先我們得到3*5+1=16，然後是16/2=8，接下去是4，2和1，由1我們又得到4，於是我們就陷在4→2→1這個循環中了。

再舉個例子，最開始的數取7，我們得到下面的序列：

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

這次複雜了一點，但是最終還是陷在4→2→1這個循環中。

隨便取一個其他的自然數，對它進行這一系列的變換，或遲或早，你總會掉到4→2→1這個循環中，或者說，你總會得到1。已經有人對所有小於100*2^50=112589990684262400的自然數進行驗算，無一例外。

數學里還有嚇人的"小題"。這樣的"小題"理解起來非常容易，卻讓無數數學家大跌眼鏡，怎麼冥思苦想也不得其解。3x+1問題大概就是其中最著名而又最簡單的一個。它簡單到大概任何一個會除2和會乘3的人（比如說，沒文化但是經常買菜的老奶奶）都能理解它的意思，但是困難得讓數學家至今也沒有找到好好對付它的方法。

這個問題大約是在二十世紀五十年代被提出來的。在西方它常被稱為西拉古斯(Syracuse)猜想，因為據說這個問題首先是在美國的西拉古斯大學被研究的；而在東方，這個問題由將它帶到日本的日本數學家角谷靜夫的名字命名，被稱作角谷猜想。除此之外它還有著一大堆其他各種各樣的名字，大概都和研究和傳播它的數學家或者地點有關的：克拉茲(Collatz)問題，哈斯(Hasse)演演算法問題，烏拉姆(Ulam)問題等等。今天在數學文獻里，大家就簡單地把它稱作"3x+1問題"。

角谷靜夫在談到這個猜想的歷史時講："一個月里，耶魯大學的所有人都著力於解決這個問題，毫無結果。同樣的事情好象也在芝加哥大學發生了。有人猜想，這個問題是蘇聯克格勃的陰謀，目的是要阻礙美國數學的發展。"不過我對克格勃有如此遠大的數學眼光表示懷疑。這種形式如此簡單，解決起來卻又如此困難的問題，實在是可遇而不可求。

數學家們已經發表了不少篇嚴肅的關於3x+1問題的數論論文，對這個問題進行了各方面的探討，在後面我會對這些進展作一些介紹。可是這個問題的本身始終沒有被解決，我們還是不知道，"到底是不是總會得到1？"

在1996年B. Thwaites懸賞1100英鎊來解決這個問題。我寫一下這個懸賞的文獻：Thwaites, B. "Two Conjectures, or How to win ￡1100."Math.Gaz. 80, 35-36, 1996，好在大家萬一證出來時知道跑哪裡去領獎。看在錢大爺的份上，3x+1問題於是又多了個名字，叫Thwaites猜想。

一，這是一個依照規則的迭代公式

： ...........（1）

X是奇數，m是使得3X+1中的偶數析出並且抵消讓整個分數成為奇數。這是一個迭代公式，如果，就結束，如果是奇數，就代入公式繼續進行，直到等於1為止。

證明這個猜想需要證明兩點：

1，公式中X不會循環，就是，s>1。

2，公式中的數值不會發散。

第1點容易證明，只要把公式（1）展開即可得到。

二，,在（2）式一步到位的有

形的數：

5， 21， 85， 341，1365， 5461， 21845， .....。

例如：

..............。

三，在（3）式二步到1的有

（3）式反推二步到位的

.......（4）

形的數：3，13，53， 113， 227， 909，....。

例如：

四，在（5）式三步到1的有

在（5）式反推三步到位的 .......(6)

（6）式簡化：

.....(6-1)

形的數：11，17， 75，301，1205，...。

例如：

，

.

六，3x+1猜想成立是因為公式化以後

分子分母抵消

對於任意n：

.........(7)

簡化以後：

(8)

對於任意n，

.......(9).

(9)式代入（10）式，剛好分子與分母抵消。

例如，（6-1）式代入（5）式：

分子與分母剛剛抵消。

有了公式，這個猜想進入理論化。

要是真的有這麼一個自然數，對它反覆作上面所說的變換，而我們永遠也得不到1，那隻可能有兩種情況。

1)它掉到另一個有別於4→2→1的循環中去了。我們在後面可以看到，要是真存在這種情況，這樣一個循環中的數字，和這個循環的長度，都會是非常巨大的；

2)不存在循環。也就是說，每次變換的結果都和以前所得到的所有結果不同。這樣我們得到的結果就會越來越大（當然其中也有可能有暫時減小的現象，但是總趨勢是所得的結果趨向無窮大）。

3x+1問題演演算法的c語言編程，其實很簡單，初學c語言的學生也能明白：

#include

long main()

{

long x,i,t;

printf("enter x:");

scanf("%d",&x);

do

{

if(x%2==0)

i=x/2;

else

i=3*x+1;

printf("%d ",i);

x=i;

}

while(x!=1);

return 0;

}

如圖所示為1百萬的執行結果：