李雅普諾夫指數

1961年冬季的一天，為了考察一條更長的序列，洛倫茲走了一條捷徑。他在進行天氣模式計算時沒有從頭開始運行，而是從中途開始。作為計算的初值，他直接輸入了上次運算的輸出結果，然後他穿過大廳下樓，清凈的去喝一杯咖啡。一個小時之後他回來時，看到了出乎意料的事。從幾乎相同茶法點開始，洛倫茲看到他的計算機產生的天氣模式差別愈來愈大，終至毫無相似之處。就是這件事播下了一門新科學的種子。

考慮兩個系統

設其初始值微小誤差為

經過一次迭代後有

其中

第二次迭代得到

········

經過第n次迭代得

可見，兩個系統對初始擾動的敏感度由導數在x0處的值決定，它與初始值x0有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均，要進行n次迭代：

每次迭代平均分離值為

兩個系統如果初始存在微小的差異，隨著時間（或迭代次數）產生分離，分離程度常用李雅普諾夫（Lyapunov）指數來度量，它為幾何平均值的對數式中xn為第n次迭代值。令n趨於無窮，得到李雅普諾夫指數的計算公式：

利用李雅普諾夫指數λ，相空間內初始時刻的兩點距離將隨時間（迭代次數）作指數分離：

在一維映射中只有一個λ值，而在多位相空間情況下一般就有多個λ，而且沿著相空間的不同方向，λ值一般也不同。

設ε0為多維相空間中兩點的初始距離，經過n次迭代以後兩點間的距離為：式中指數λi可正可負，當其為正時表示沿該方向擴展，為負數時表示沿該方向收縮。在經過一段時間（數次迭代）以後，兩個不同李雅普諾夫指數將使相空間中原來的圓演變為橢圓。

穩定體系的相軌線相應於趨向某個平衡點，如果出現越來越遠離平衡點，則系統是不穩定的。系統只要有一個正直就會出現混沌運動。

判斷一個非線性體統是否存在混沌運動時，需要檢查它的李雅普諾夫指數λ是否為正值。

在高維相空間中大於零的李雅普諾夫指數可能不止一個，這樣體系的運動將更為複雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數的混沌為超混沌。推廣到高維空間后，有指數（）的值決定的各種類型的吸引子可以歸納為：