非線性

線性關係，指量與量之間按比例、成直線的關係，在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性關係則指不按比例、不成直線的關係，代表不規則的運動和突變。如問：兩個眼睛的視敏度是一個眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實際是 6－10倍！這就是非線性：1+1不等於2。對於方程組，線性與非線性的區別在於是否具有常數項，若有常數項則為非線性方程，如：x+y+z=12，就為非線性方程。

非線性關係雖然千變萬化，但還是具有某些不同於線性關係的共性。

線性關係是互不相干的獨立關係，而非線性則是相互作用，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地全部等於部分之和，而可能出現不同於"線性疊加"的增益或虧損。

激光的生成就是非線性的！當外加電壓較小時，激光器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當外加電壓達到某一定值時，會突然出現一種全新現象：受激原子好像聽到“向右看齊”的命令，發射出相位和方向都一致的單色光，就是激光。

迄今為止，對非線性的概念、非線性的性質，並沒有清晰的、完整的認識，對其哲學意義也沒有充分地開掘。

線性：從相互關聯的兩個角度來界定，其一：疊加原理成立；其二：物理變數間的函數關係是直線，變數間的變化率是恆量。

在明確了線性的含義后，相應的非線性概念就易於界定：

其—，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即疊加原理不成立，這意味著φ與ψ間存在著耦合，對（aφ+bψ）的*作，等於分別對φ和ψ*作外，再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的*作，或者φ、ψ是不連續(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。

其二，作為等價的另—種表述，我們可以從另一個角度來理解非線性：在用於描述—個系統的一套確定的物理變數中，一個系統的—個變數最初的變化所造成的此變數或其它變數的相應變化是不成比例的，換言之，變數間的變化率不是恆量，函數的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變數間的一級增量關係在變數的定義域內是不對稱的。可以說，這種對稱破缺是非線性關係的最基本的體現，也是非線性系統複雜性的根源。

對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其—疊加原理不成立必將導致其二物理變數關係不對稱；反之，如果物理變數關係不對稱，那麼疊加原理將不成立。之所以採用了兩種表述，是因為在不同的場合，對於不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對於考察系統中整體與部分的關係、微分方程的性質是方便的，後者對於考察特定的變數間的關係(包括變數的時間行為)將是方便的。

非線性的特點是：橫斷各個專業，滲透各個領域，幾乎可以說是：“無處不在時時有。”確實如此。