恆等函數

設 為一集合，於 上的恆等函數被定義於一具有定義域和陪域 的函數，其對任一 內的元素，會有 的關係。於 上的恆等函數 通常標記為 或。

設 為任一函數，則會有 其中" "為函數複合)。特別地是，會是所有由 至 的函數所組成之幺半群的單位元。，

因為幺半群的單位元是唯一的，可以以 上的單位元來替代其 恆等函數的定義。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中 的自同態並不必然要是個函數。

恆等函數 是 到 函數，即，稱之為 恆等函數。顯然，對，有。

1) 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。

2) 在一 維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣，不論其基為何。

3) 在一度量空間，恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群，即只包含這個恆等函數的平凡群。