自同態

兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進位數與二進位數是同構的。

建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。

同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤，稱從E到F中的映射 是群胚同態，如果對於E的任一元素偶 有 ，設E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射，是幺半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素， (在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射是群胚的同態，而並不因此就是幺半群的同態)。

設G為乘法群，而為G的元素，由關係所定義的從加法群Z到G中的映射是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射是環(體)的同態，如果是加法群的同態，且為乘法么半群的同態，這就是說，對A的任一元素偶，有

並且將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數，使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態，設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)，稱從E到F中的映射 是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態.。例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基，則從E的全體自同態之酉代數到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數 中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

自同態是已知集合(群、環、代數)到其自身保持代數結構的映射，例如線性空間到某半空間的射影就是線性空間的自同態，它保持了向量的加法運算和數乘運算。設G為關於加法的交換群，賦以加法及法則的G的全體自同態之集是一個環；設E為交換體K上的向量空間，賦以法則， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為，元素仍記為gf，A-模的情形是類似的。

設 是G到G本身的一個同態(或同構)，則稱 是G上的一個自同態(endomorphism)(或自同構(automorphism))，G上的所有自同態的集合對變換的複合構成—-個含幺半群，稱為G上的自同態半群(endomorphism semigroup)，記作EndG，G上的所有白同構的集合對變換的複合構成一個群，稱為G上的自同構群(automorphism group)，記作AutG。

在群G中，取定一個元素，定義G上的一個變換 為：對任何 有，則 是G上的一個自同構，這個自同構稱為一個內自同構(inner autmorphism)，G上的全體內自同構構成一個群，稱為內自同構群(inner automorphism group)，記作InnG，即

內自同構群有以下性質。

定理設G是群，則

（1）

（2）

其中C為G的中心。

下面通過一些例子來說明如何確定一個群的自同態半群或自同構群。

例1 設Z是整數加群，試確定AutZ。

解: 設 是Z的任一自同構，並設，則對任意 有，因為 是滿射，故存在，使，由此得或，也就是說，只有以下兩個映射才有可能是同構映射：

不難驗證 與 確是Z上的同構，所以。

通過這個簡單的例子可以說明如何確定一個群G的全部自同構(或自同態)，首先分析任意一個自同構(或自同態) 的性質，主要是分析G的生成元在 下的像，從而決定 所具有的約束條件，根據這個約束條件寫出全部自同構(或自同態)。在表達方法上，最後得到的不同的自同構(或自同態)應用不同的映射記號(例如 )表示，對每一個映射 給出 的一般表達式。

設A和A’是兩個環，若有一個A到A‘’的映射 滿足以下條件：對任何 有

則稱 是一個A到A'的同態。我們把上式稱為保持環中的運算。

如果 是單射，則稱 是一個單同態；

如果 是滿射，則稱 是一個滿同態．這時，記作；

如果 是雙射，則稱 是A到A'的一個同構．這時記作。

當是單同態時， ，稱 將A同構嵌入到A'中。

一個A到A本身的同態，稱為A上的自同態，一個A到A本身的同構，稱為A上的自同構。環A上的全體自同構關於映射的複合構成群，稱為環A上的自同構群，記作AutA。

例2設是兩個環，定義映射，對任何，則 是A到A'的一個同態，且同態像為，此同態稱為零同態，是任何兩個環之間都存在的一個同態。