序貫分析

序貫抽樣方案是指在抽樣時，不事先規定總的抽樣個數（觀測或實驗次數）,而是先抽少量樣本，根據其結果，再決定停止抽樣或繼續抽樣、抽多少，這樣下去，直至決定停止抽樣為止。反之，事先確定抽樣個數的那種抽樣方案，稱為固定抽樣方案。

例如，一個產品抽樣檢驗方案規定按批抽樣品20件，若其中不合格品件數不超過 3，則接收該批，否則拒收。在此，抽樣個數20是預定的，是固定抽樣。若方案規定為：第一批抽出3個，若全為不合格品，拒收該批，若其中不合格品件數為，則第二批再抽個，若全為不合格品，則拒收該批，若其中不合格品數為 ,則第三批再抽個，這樣下去，直到抽滿20件或抽得 3個不合格品為止。這是一個序貫抽樣方案，其效果與前述固定抽樣方案相同，但抽樣個數平均講要節省些。此例中，抽樣個數是隨機的，但有一個不能超過的上限20。有的序貫抽樣方案，其可能抽樣個數無上限，例如，序貫概率比檢驗的抽樣個數就沒有上限。

H.F.道奇和 H.G.羅米格的二次抽樣方案(見抽樣檢驗)是較早的一個序貫抽樣方案。1945年,C.施坦針對方差未知時估計和檢驗正態分佈的均值 μ(見數學期望)的問題，提出了一個二次抽樣方案。依此方案，在事先給定了和后，可作出均值μ的一個置信區間，其置信係數（見區間估計）為 ，而長度不超過l。可以證明：當方差未知時，具有這種性質的置信區間在固定樣本的情況下不可能找到。由此可以看出序貫抽樣方案除了可節省抽樣量之外，還有一種作用，即為了達到預定的推斷可靠程度(這裡為置信係數)及精確程度（這裡是以區間長度來刻畫），有時必須使用序貫抽樣。

例如，估計一事件A的概率，給定，要找到這樣的估計孨，使能以不小於的概率保證估計的相對誤差小於等於。可以證明，若用固定抽樣方案，事先指定自然數n,做n次試驗，每次觀察A是否發生，則不論n多麼大，具有上述性質的孨不存在。但用下述序貫抽樣方案可得到這樣的：作試驗，觀察A是否發生，設到A第一次發生時已作了試驗，計算 取其整數部分,再作次試驗，記次試驗中A出現的次數為m,，則有，而估計孨具有所指定的性質。

第二次世界大戰時，為軍需驗收工作的需要，瓦爾德發展了一種一般性的序貫檢驗方法，叫序貫概率比檢驗（簡稱SPRT）。此法在他的1947年的著作中有系統介紹，其要點如下：設在原假設和備擇假設之下，隨機變數x的概率密度函數或概率函數隨機變數都已知，且分別為,對x逐次觀測，第i次觀測的結果記為，稱比值為樣本的概率比。在固定抽樣方案之下，是先給定自然數n,對x進行n次觀測得，計算。定出一常數C（其值取決於檢驗水平α）,當 時，接受原假設,否則拒絕。這樣，在λn的值與C很接近時,是否被接受的界限過於斷然，不大合理。瓦爾德將此修改為：指定兩個數根據各次觀測得的樣本 的值，依次計算概率比。每次抽樣完畢，即算出，再與A,B比較，若,則接受；若,則接收（拒絕）；若,則繼續抽樣一次得計算出再作上述比較，直到作出決定為止。這就是序貫概率比檢驗。至於A,B的定法，則取決於指定的兩種錯誤概率α和β（α,β都大於0，但很小）。瓦爾德提供的近似公式是。他也給出了這種檢驗法的平均抽樣次數和功效函數（見假設檢驗），並在1948年與美國統計學家J.沃爾弗維茨一起，證明了在一切兩種錯誤概率分別不超過α和β的檢驗類中，上述序貫概率比檢驗所需平均抽樣次數最少。瓦爾德在其著作中也考慮了複合檢驗的問題，有許多統計學者研究了這種檢驗。瓦爾德的上述開創性工作，引起了許多統計學者對序貫方法的注意，並繼續進行工作，從而使序貫分析形成為數理統計學的一個分支。

除了檢驗問題以外，序貫方法在其他方面也有不少進展，對一般的統計決策問題，在各次觀測結果相互獨立的情況下的序貫貝葉斯解的問題，在理論上已有較完整的結果。在點估計方面，對序貫的最小化最大估計的研究有了一些結果。在區間估計方面，關於斯坦的二次抽樣，正態均值及一般總體均值和線性模型參數的區間估計，有不少的工作。另外，在數理統計學中有一類在應用上重要的問題，叫選擇問題，它要求從若干個分佈中挑選出一個在某種意義上的最優者。例如，從若干個具有不同均值的正態分佈中，挑選出其均值最大者。關於這個問題也發展了一系列的序貫方法。

參考書目

A.Wald,Sequential Analysis,John Wiley & Sons, New York, 1947.

D.Siegmund,Sequential Analysis,Springer-Verlag, New York, 1985.