格點

1、格點多邊形的面積必為整數或半整數（奇數的一半）。

2、格點關於格點的對稱點為格點。

3、格點多邊形面積公式，設某格點多邊形內部有格點a個，格點多邊形的邊上有格點b個，該格點多邊形面積為S，則根據皮克公式有。

4、格點正多邊形只能是正方形。

5、格點三角形邊界上無其他格點，內部有一個格點，則該點為此三角形的重心。

格點問題就是研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數的問題。

格點問題（problem on lattice point）又稱整點問題

起源

格點問題起源於以下兩個問題的研究：①狄利克雷除數問題，即求時上的格點數。

1849年，狄利克雷證明了，這裡ν為歐拉常數，。

這一問題的目的是要求出使余項估計成立的又的下確界θ0。②圓內格點問題，設，圓內上的格點數。

高斯證明了，這裡,求使余項估計成立的λ的下確界α的問題，稱之為圓內格點問題或高斯圓問題。1903年，Г.Ф.沃羅諾伊證明了；

1906年，謝爾品斯基證明了；

20世紀30年代，J.G.科普特證明了，；

1934-1935年，E.C.蒂奇馬什證明了；

1942年，華羅庚證明了；

1963年，陳景潤、尹文霖證明了；

1950年，遲宗陶證明了；

1953年，H.里歇證明了同樣的結果；

1963年，尹文霖證明了；

1985年，Г.A.科列斯尼克證明了；

1985年，W.G.諾瓦克證明了。

在下限方面，

1916年，哈代證明了；

1940年，A.E.英厄姆證明了。

人們還猜測，但仍然未能證明。

由此直接推廣出k維除數問題，球內格點問題以及k維橢球內的格點問題等。格點問題所涉及到的知識點通常與抽屜原理和圖論知識結合在一起，一般來說與整數的奇偶性、整除性等聯繫十分緊密。

舉例

（1）平面上任何個整點中必可取出n個整點使其重心仍為整點。

（2）1983年Kemnitz猜想，用初等方法是無法解決這一困難猜想的。

（3）2000年有人使用代數方法成功地證明換成時猜想正確。

（4）2003年德國Reiher（born April19，1984）出人意料地將代數方法與組合方法巧妙地結合起來，攻下有20年之久的Kemnitz猜想。