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- 離散數學名詞
內插法
內插法
又稱插值法。根據未知函數f(x)在某區間內若干點的函數值，作出在該若干點的函數值與f(x)值相等的特定函數來近似原函數f(x)，進而可用此特定函數算出該區間內其他各點的原函數f(x)的近似值，這種方法，稱為內插法。按特定函數的性質分，有線性內插、非線性內插等；按引數(自變數)個數分，有單內插、雙內插和三內插等。我國古代早就發明了內插法，當時稱為招差術，如公元前1世紀左右的《九章算術》中的“盈不足術”即相當於一次差內插(線性內插)；隋朝作《皇極曆》的劉焯發明了二次差內插(拋物線內插)；唐朝作《太衍歷》的僧一行又發明了不等間距的二次差內插法；元朝作《授時歷》的郭守敬進一步發明了三次差內插法。在劉焯1000年後，郭守敬400年後，英國牛頓才提出內插法的一般公式。
內插法
數學內插法即“直線插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點，則點P（i,b)在上述兩點確定的直線上。而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點A、B之間，故稱“直線內插法”。
數學內插法說明點P反映的變數遵循直線AB反映的線性關係。
上述公式易得。A、B、P三點共線，則
(b-b1)/(i-i1)=（b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。
公式
A表示租賃開始日租賃資產的公平價值； R表示每期租金數額；
S表示租賃資產估計殘值；
n表示租期；
r表示折現率。
通過簡單的試錯，找出二個滿足上函數的點（a1，b1）（a2，b2），然後，利用對函數線性的假設，通過以下比例式求出租賃利率
設二次拋物線關係式：y = f(x)，要計算在x = x0點的函數。已知f(x1)、f(x2）和f(x3)，其中x1 < x2 < x3，x1 < x0 < x3，則在x0點的函數值：f(x0)= f(x1)*(x2-x0 ) *( x3- x0) / ((x3 - x1) *(x2 - x1) )+f(x2) *( x1- x0)*( x3- x0) / ((x3 - x2) *(x1 - x2) ) +f(x3)*(x2-x0 ) *( x1- x0) / ((x1 -x3 ) *( x2- x3) )。顯然本式也適合外插計算。
線性關係和三次以上拋物線可仿上式，很容易得出。
內插法在財務管理中應用很廣泛，如在貨幣時間價值的計算中，求利率i，求年限n;在債券估價中，求債券的到期收益率；在項目投資決策指標中，求內含報酬率。中級和CPA教材中都沒有給出內插法的原理，很多同學都不太理解是怎麼一回事。下面結合實例來講講內插法在財務管理中的應用。
內插法
2.如果上述條件不能同時滿足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通過多次試誤求出內含報酬率的估值範圍，再採用內插法確定內含報酬率。
下面舉個簡單的例子進行說明：
某公司現有一投資方案，資料如下：
初始投資一次投入4000萬元，經營期三年，最低報酬率為10%，經營期現金凈流量有如下兩種情況：（1）每年的現金凈流量一致，都是1600萬元；（2）每年的現金凈流量不一致，第一年為1200萬元，第二年為1600萬元，第三年為2400萬元。
問在這兩種情況下，各自的內含報酬率並判斷兩方案是否可行。
根據（1）的情況，知道投資額在初始點一次投入，且每年的現金流量相等，都等於1600萬元，所以應該直接按照年金法計算，則
NPV=1600×(P/A，I，3)－4000
由於內含報酬率是使投資項目凈現值等於零時的折現率，
所以 令NPV=0
則：1600×(P/A，I，3)－4000=0
(P/A，I，3)=4000÷1600=2.5
查年金現值係數表，確定2.5介於2.5313(對應的折現率i為9%)和2.4869(對應的折現率I為10%)，可見內含報酬率介於9%和10%之間，根據上述插值法的原理，可設內含報酬率為I,
則根據原公式：
(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1).
i2 =10%，i1=9%，則這裡β表示係數，β2=2.4689，β1=2.5313，
而根據上面的計算得到β等於2.5，所以可以列出如下式子：
（10%-9%）/（I-9%）=（2.4689-2.5313）/（2.5-2.5313），解出I等於9.5%，因為企業的最低報酬率為10%，內含報酬率小於10%，所以該方案不可行
根據（2）的情況，不能直接用年金法計算，而是要通過試誤來計算。這種方法首先應設定一個折現率i1，再按該折現率將項目計算期的現金流量折為現值，計算出凈現值NPV1；如果NPV1>0，說明設定的折現率i1小於該項目的內含報酬率，此時應提高折現率為i2，並按i2重新計算該投資項目凈現值NPV2；如果NPV1<0，說明設定的折現率i1大於該項目的內含報酬率，此時應降低折現率為i2，並按i2重新將項目計算期的現金流量折算為現值，計算凈現值NPV2。
經過上述過程，如果此時NPV2與NPV1的計算結果相反，即出現凈現值一正一負的情況，試誤過程即告完成，因為零介於正負之間(能夠使投資項目凈現值等於零時的折現率才是財務內部收益率)，此時可以用插值法計算了；但如果此時NPV2與NPV1的計算結果符號相同，即沒有出現凈現值一正一負的情況，就繼續重複進行試誤工作，直至出現凈現值一正一負。本題目先假定內含報酬率為10%，則：
NPV1=1200×0.9091+1600×0.8264+2400×0.7513-4000=216.8萬
因為NPV1大於0，所以提高折現率再試，設I=12%, NPV2=1200×0.8929+1600×0.7972+2400×0.7118-4000=55.32萬
仍舊大於0，則提高折現率I=14%再試，NPV3=1200×0.8772 +16000×0.7695+2400×0.6750-4000=-96.19萬
現在NPV2 >0，而 NPV3<0（注意這裡要選用離得最近的兩組數據），所以按照內插法計算內含報酬率，設i2 =14%，i1=12%，則 β2=-96.19，β1=55.32，β=0根據
（i2-i1）/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)
有這樣的方程式：（14%-12%）/（i-12%）=（-96.19-55.32）/（0-55.329）
解得I=12.73%，因為大於必要報酬率，所以該方案可以選擇。
內插法
某公司現有兩個投資項目，其中
A項目初始投資為20000，經營期現金流入分別為：第一年11800，第二年13240，第三年沒有流入；
B項目初始投資為9000，經營期現金流入分別為：第一年1200，第二年6000，第三年6000；
該公司的必要報酬率是10%，如果項目A和B是不相容的，則應該選擇哪個方案？
根據本題目，初始差額投資為：
△NCF0=20000-9000=11000萬
各年現金流量的差額為：
△NCF1=11800-1200=10600萬
△NCF2=13240-6000=7240萬
△NCF3=0-6000=－6000萬
首先用10%進行測試，則NPV1=10600×0.9091+7240×0.8264+（-6000）×0.7513-11000=117.796萬
因為NPV1>0，所以提高折現率再試，設I=12%,則有NPV2=10600×0.8929+7240×0.7972+（-6000）×0.7118-11000=-34.33萬
現在NPV1>0，而NPV2<0（注意這裡要選用離得最近的兩組數據），所以按照內插法計算內含報酬率。
設i2 =12%，i1=10%，則 β2=－34.33，β1=117.796，β=0，則根據（i2-i1）/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)，有這樣的方程式：
（12%-10%）/（I-10%）=（-34.33-117.796）/（0-117.796），解得I=10.52%，因為大於必要報酬率，所以應該選擇原始投資額大的A方案。
除了將插值法用於內含報酬率的計算外，在計算債券的到期收益率時也經常用到。如果是平價發行的每年付息一次的債券，那麼其到期收益率等於票面利率，如果債券的價格高於面值或 者低於面值，每年付息一次時，其到期收益率就不等於票面利率了，具體等於多少，就要根據上述試誤法，一步一步測試，計算每年利息×年金現值係數+面值×複利現值係數的結果，如果選擇的折現率使得計算結果大於發行價格，則需要進一步提高折現率，如果低於發行價格，則需要進一步降低折現率，直到一個大於發行價格，一個小於發行價格，就可以通過內插法計算出等於發行價格的到期收益率。總的來說，這種內插法比較麻煩，教材上給出了一種簡便演演算法： R=[I+(M-P)÷N]/[（M+P）÷2]
這裡I表示每年的利息，M表示到其歸還的本金，P表示買價，N表示年數。例如某公司用1105元購入一張面額為1000元的債券，票面利率為8%，5年期，每年付息一次，則債券的到期收益率為：
R= [80+(1000-1105)÷5]/[（1000+1105）÷2]=5.6%
可以看出，其到期收益率與票面利率8%不同，不過這種簡便做法在考試時沒有作出要求，相比較而言，對於基本的內插法，大家一定要理解並學會運用。
基本信息
- 中文名
- 內插法
- 別名
- 插值法、試差法
- 出處
- 《九章算術》
- 用途
- 未知函數值的近似計算方法
- 特例
- 白塞爾內插法