連續映射
連續映射
連續映射(continuous mapping)拓撲空間之間的一類重要映射。設X，Y為任意兩個集合，映射f：X→Y，對於x₀∈X，有y₀=f(x₀)，如果對於y₀的任意鄰域U(y₀)，總能找到x₀的鄰域U(x₀)，使得 f(U(₀))⊂U(₀) 則稱映射f在點₀是連續的。如果映射f在集合X的每一點都是連續的，則稱映射f為X上的連續映射。高等數學中連續函數的定義與這裡的連續映射概念是一致的。
連續映射(continuous mapping)拓撲空間之間的一類重要映射。設(X,T)與(Y,Τ)是兩個拓撲空間，是映射，。若f(x)的每一鄰域關於f的原像是x的鄰域，則稱f在點x處是連續的。若f在X的任意點是連續的，則稱f是(X,T)到(Y,U)的連續映射。f為連續映射的等價條件有很多，例如：
1.Y的每一開集的原像是X的開集。
2.Y的每一閉集的原像是X的閉集。
3.對於任意和f(x)的任意鄰域U，存在x的鄰域V使得。
4.對於X的每一子集A，有。
5.對於Y的每一子集B，有.
6.對於任意和X中每一收斂於s的網 ,Y中的網收斂於 f(s). 抽象空間的連續映射是弗雷歇(Fréchet, M. -R.)於1910年開始考慮的 .
圖一 連續映射的直觀表達示意圖
連續映射用ε一δ語言描述必須分成在一點連續與在定義域上連續兩個階段來定義，且適用於兩個度量空間之間的映射：
定義1 設X和Y是兩個度量空間，映射.若對任一以為中心、為半徑的開球 ，存在以為中心、為半徑的開球 ，使。則稱映射在處連續.
定義2 設X和Y是兩個度量空間，映射。若映射f在每一點連續．則稱是連續映射。
註記1：不難看出，兩個度量空問之間映射的連續性用語言描述，是用開球對應代替不等式對應。的不等式對應只適用於1維度量．的開球對應則把連續性的描述擴展到n維度量。當，開球對應中的開球是n維超開球體。
連續映射用開集對應描述無須分成在一點連續與在定義域上連續兩個階段來定義，且適用於兩個拓撲空間之間的映射。
定義3 設T和J是兩個拓撲空間，映射。若每個J中的開集U，其逆象在T中也是開集，則稱連續映射．
註記2：用開集對應描述映射連續性的時候，可以撇開度量性。無須分成在一點連續與在定義域上連續兩個階段，這是語言與開集語言的最大區別。
定理1 設均為連續映射，則複合映射g。也是連續映射。
從幾何意義看：連續映射把集合X中彼此“靠近”的點，映射后的像在Y中仍彼此“靠近”，也就是經過連續映射，不會破壞集合X的完整性，使圖形不產生破裂。如圖二所示，通過連續映射f將圓周X映射成任意形狀的閉曲線Y，圓周上任意一點x，在閉曲線上的像為y，圓周上x“附近”的點，映射后的像在閉曲線上仍是像點y的“附近”點，保持圖形的完整性。
圖二 從圓周到閉曲線的連續映射示意圖
圖三從圓周到開曲線的不連續映射示意圖
圖四 圓周的連續映射示意圖
定理4 映射連續↔任意開集在T下的逆像是開集↔任意閉集在T下的逆像是閉集 .