有界度量空間

現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函數間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。

度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連接這兩點的直線的長度。

設X為一個集合，一個映射d：。若對於任何x,y,z屬於X，有

（I）（正定性），且當且僅當；

（Ⅱ）（對稱性）；

（Ⅲ）（三角不等式）

則稱d為集合X的一個度量（或距離）。稱偶對為一個度量空間，或者稱X為一個對於度量d而言的度量空間。

設X為任一非空集合，定義映射d：如下

⑴對於X中任意元素

⑵如果x,y是X中兩個不同元素，則.

則這樣定義的d滿足（I）（Ⅱ）（Ⅲ），是集合X的一個度量。這樣的度量稱為離散度量。

證明：度量空間中收斂序列的極限是唯一的

設收斂於a且收斂於b。則對任意，存在N使得對有，故必有，所以

由所有的n元實數組構成集合中元素

與之間的距離定義為

其中R表示實數集合。定義元素及之間的距離為

對於兩個不同的元素及，用表示滿足的最小標號n，定義x與y之間的距離為：

再規定。一般假設Ω是任意一個集合，取，可以按同樣的方法定義與，得到的度量空間也稱作貝爾空間。

處理分析問題時，根據具體情況需要可以引入種種函數空間。例如，考慮定義於閉區間上的一切連續實值函數的集合，就可以定義兩個函數ƒ和g的距離為

對於度量空間X，可以利用它的度量d引進一個拓撲結構，其基的元就是所有的開球

例如，對於實數集與

就產生同一個拓撲結構。度量不是拓撲概念。

在度量空間中可以用距離定義點列的收斂概念：就是指。點列稱為柯西點列，是指對任意正實數ε，都存在自然數N，使得時有可以證明收斂點列一定是柯西點列，反過來並不成立。每個柯西點列都收斂的度量空間叫做完備度量空間。這類空間有許多好的性質。例如，完備度量空間中壓縮映射原理成立。可以用它證明微分方程、積分方程以及無限線性代數方程組的一系列存在唯一性定理。度量空間X的任何子集Y配上原有的距離也成為度量空間，稱作X的子空間。如果每個開球子空間。

每一度量空間X都是另一完備度量空間的稠密子空間，而且由X唯一構造出來。例如，實數直線就是有理數集的完備化，20世紀初建立嚴密的數學分析理論正是基於這一重要事實。

可以證明：在完備度量空間中可數多個稠密開子集的交仍是稠密集。

度量空間具有許多良好性質，例如，它滿足第一可數公理，它是豪斯多夫空間，正規空間，還是仿緊空間。此外對度量空間而言，緊緻性等價於下列三條中的任一條：①任何可數開覆蓋都有有限子覆蓋；②每一無限子集都在空間中有聚點：③每一點列都有收斂子列。

一個拓撲空間的拓撲結構在什麼條件下能作為一個度量空間的拓撲？這是點集拓撲理論中的一個重要問題，稱作度量化問題。對於度量化問題的兩個最主要的結果一個是Urysohn度量化定理，即每一個第二可數的正規Hausdorff空間可度量化（通常會在點集拓撲的課程中介紹），另一個則是Bing-Nagata-Smirnov度量化定理，即一個拓撲空間可度量化當且僅當它是正則Hausdorff空間並且具有一個可數的局部有限基。