單擺

周期

在非常小的振幅（角度）下，單擺做簡諧運動的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、擺球的質量無關。

公式

單擺是一種理想的物理模型，它由理想化的擺球和擺線組成．擺線由質量不計、不可伸縮的細線提供；擺球密度較大，而且球的半徑比擺線的長度小得多，這樣才可以將擺球看做質點，由擺線和擺球構成單擺．在滿足偏角小於10°的條件下，單擺的周期為

從公式中可看出，單擺周期與振幅和擺球質量無關．從受力角度分析，單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向並且指向平衡位置的分力，偏角越大，回復力越大，加速度（gsinθ ）越大，在相等時間內走過的弧長也越大，所以周期與振幅、質量無關，只與擺長l和重力加速度g有關．在有些振動系統中l不一定是繩長，g也不一定為9.8m/，因此出現了等效擺長和等效重力加速度的問題．

物理上有些問題與單擺類似，經過一些等效可以套用單擺的周期公式，這類問題稱為“等效單擺”．等效單擺在生活中比較常見．除等效單擺外，單擺模型在其他問題中也有應用．

說明

質點振動系統的一種，是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體，都稱為擺，但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分佈有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為l且不能伸長的細繩上，把質塊拉離平衡位置，使細繩和過懸點鉛垂線所 成角度小於10°，放手后質塊往複振動，可視為質點的振動，其周期T只和長度l和當地的重力加速度g有關，即T和質塊的質量 、形狀和振幅的大小都無關係，其運動狀態可用簡諧振動公式表示，稱為單擺。如果振動的角度大於10°，則振動的周期將隨振幅的增加而變大，就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大，繩的質量不能忽略，就成為復擺，周期就和擺球的尺寸有關了。

由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述。

首先我們可以得到，重力對單擺的力矩為

其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，θ是單擺與豎直方向的夾角，注意，θ是矢量，這裡取它在正方向上的投影。

我們希望得到擺角θ的關於時間的函數，來描述單擺運動。由角動量定理我們知道，

其中 是單擺的轉動慣量， 是角加速度。

於是化簡得到

我們知道（1）式是一個非線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。

不過，在θ比較小時，近似地有sin θ ≈ θ。（即 。）因而此時（1）式就變為 ，這是一個二階常係數線性齊次微分方程，其通解為 ，式中A. 為任意常數，由初值條件給定。而

於是單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動

一般在高考之類的考試中，認為10°以下可以這樣近似。

事實上5°≈0.087266 rad，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。

由於正弦函數的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。

小角近似公式和實際曲線比較

伽利略第一個發現擺的振動的等時性，並用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動。惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器，也可用來測量重力加速度的變化。惠更斯的同時代人天文學家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那，發現每天慢2.5min，經過校準，回巴黎時又快2.5min。惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。I. 牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。直到20世紀中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。

上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式，但科學是嚴謹的，在此補充在任意角度下單擺的周期公式。

在此之前先提出兩個概念（這裡用Mathematica的定義）：

第一類不完全橢圓積分：

第一類完全橢圓積分：

下面我用微分方程進行討論，讀者可以嘗試用動能定理進行計算，可以更簡潔地得到其特解。

設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那麼單擺的運動公式為：

令 ，於是有 上式改寫成：

這是一個可分離變數的微分方程！分離變數：

其通解為

給定初始條件 （0≤α≤π）， ，則其特解為：

所以考慮t（t是四分之一周期）：

設 ，則

又考慮到

便可以化簡得到

按照前面的定義，便有

此處的α就是常說的擺角。

直觀差別圖如右：

周期差別

利用電腦軟體，我們列出近似公式與真實公式的差別。

下面數據皆是相對誤差：相對誤差=（真實值-近似值）/真實值

每一行，擺角相差1度，自0取到180度。

0.0019038558531896002%

0.0076153871712633745%

0.01713448526148856%

0.030460969075184717%

0.047594585366650885%

0.06853500891589595%

0.09328184281540482%

0.12183461882124084%

0.1541927977688524%

0.1903557700540208%

0.23032285617945628%

0.27409330736761933%

0.32166630624041737%

0.37304096756649924%

0.42821633907694606%

0.48719140235023334%

0.549965073767417%

0.6165362055385787%

0.686903586801647%

0.7610659447947971%

0.839021946103721%

0.92077019798515%

1.006309249768103%

1.0956375943344412%

1.188753669680396%

1.2856558605608566%

1.386342500218304%

1.490811872198394%

1.599062212254311%

1.7110917103421366%

1.8268985127096076%

1.9464807240807704%

2.0698364099391786%

2.1969635989124314%

2.3278602852610035%

2.4625244314744745%

2.600953970978439%

2.7431468109555626%

2.8891008352844154%

3.038813907599942%

3.192283874479603%

3.3495085687594606%

3.5104858129847005%

3.675213422999331%

3.843689211680047%

4.0159109928195225%

4.191876585164665%

4.371583816615697%

4.555030528592199%

4.742214580572629%

4.933133854814164%

5.127786261260084%

5.326169742642323%

5.5282822797872475%

5.734121897133129%

5.9436866684683%

6.156974722899461%

6.3739842510601274%

6.594713511569824%

6.819160837755173%

7.04732464464473%

7.279203436250061%

7.514795813146305%

7.754100480366246%

7.99711625562274%

8.243842077875229%

8.494277016257039%

8.748420279381131%

9.006271225043092%

9.2678293703413%

9.533094402235417%

9.802066188565687%

10.074744789556986%

10.351130469833013%

10.63122371096772%

10.915025224602775%

11.202535966161768%

11.493757149193899%

11.788690260382037%

12.087337075252421%

12.389699674625776%

12.695780461852351%

13.00558218087636%

13.319107935178396%

13.636361207647948%

13.957345881441757%

14.282066261887804%

14.610527099499105%

14.942733614166162%

15.278691520602091%

15.61840705511994%

15.961887003827869%

16.309138732334322%

16.660170217062607%

17.014990078281997%

17.373607614971124%

17.7360328416386%

18.10227652723615%

18.472350236310504%

18.846266372552723%

19.224038224916786%

19.605680016494205%

19.991206956347447%

20.380635294522822%

20.773982380483087%

21.171266725221678%

21.57250806734433%

21.977727443430435%

22.386947263015642%

22.800191388569722%

23.21748522087999%

23.63885579029045%

24.06433185429185%

24.493944002007527%

24.92772476617582%

25.365708743292277%

25.807932722644754%

26.254435825053335%

26.70525965221522%

27.160448447654655%

27.62004927039044%

28.08411218256101%

28.552690452391587%

29.025840774051932%

29.50362350614023%

29.986102930741776%

30.47334753525516%

30.965430319458193%

31.462429130607322%

31.96442702973461%

32.47151269273426%

32.98378085032637%

33.50133277156177%

34.0242767962028%

34.552728922099824%

35.086813454603366%

35.62666372613477%

36.17242289531702%

36.72424483658309%

37.282295132982576%

37.84675218706157%

38.41780846727546%

38.99567191050804%

39.58056750504079%

40.172739082901636%

40.77245135613077%

41.37999223839477%

41.99567550190461%

42.61984383019676%

43.25287234061159%

43.895172667035965%

44.54719771472042%

45.20944722616039%

45.88247433208869%

46.56689330724679%

47.263388810526784%

47.972726968588255%

48.69576876871157%

49.433486371410815%

50.18698315232789%

50.95751856030661%

51.7465392710714%

52.55571868071775%

53.38700761086381%

54.24270033499423%

55.12552192866632%

56.03874591621829%

56.986355981090206%

57.97327350290041%

59.00568652891076%

60.09154082585585%

61.24130132912596%

62.46918883739732%

63.795307588848516%

65.24958544634976%

66.87982354979094%

68.77058140504862%

71.09802414324294%

74.36597547372776%

100%

當單擺周期T=2s時，由公式推導，擺長大約為1m，這種情況的單擺叫做秒擺。秒擺常見於擺鐘上。

注意：在當前高中階段，一般研究擺角小於10°的情況（即近似看做簡諧運動），且高中階段教材中僅涉及在實驗中推測公式，不涉及單擺周期公式的推導（因為需要涉及到高等數學）。