廣義函數

古典函數概念的推廣。歷史上第一個廣義函數是由物理學家 P.A.M. 狄拉克引進的，他因為陳述量子力學中某些量的關係時需要引入了“函數”：當 時,，但時，。按20世紀前所形成的數學概念是無法理解這樣奇怪的函數的。然而物理學上一切點量，如點質量、點電荷、偶極子、瞬時打擊力、瞬時源等物理量用它來描述不僅方便、物理含義清楚，而且當它被當作普通函數參加運算，如對它進行微分和傅里葉變換，將它參與微分方程求解等所得到的數學結論和物理結論是吻合的。這就迫使人們要為這類怪函數確立嚴格的數學基礎。最初理解的方式之一是把這種怪函數設想成直線上某種分佈所相應的“密度”函數。所以廣義函數又稱為分佈，廣義函數論又叫做分佈理論。用分佈的觀念為這些怪函數建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨著泛函分析的發展，L.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函數建立了一整套嚴格的理論，接著И.□.蓋爾范德對廣義函數論又作了重要發展。

J.（-S.）阿達馬(1932)在研究波動方程基本解時使用了發散積分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究雙曲型方程的柯西問題時用分部積分引入了廣義導數和微分方程廣義解的概念，並把函數δ及其導數δ□等視為某個函數空間上的線性泛函；他對廣義函數論的建立邁出了決定性的一步。S.博赫納(1932)和T.卡萊曼(1944)討論了冪增長函數的傅里葉變換，提出了連續函數的形式導數概念。

當然為那些怪函數建立嚴格數學基礎的方法並不是惟一的，例如波蘭學者J.米庫辛斯基就曾用較初等的方法建立它們的基礎。也有把廣義函數看作解析函數的邊界值，並由此發展出超函數理論。換句話說，廣義函數的定義並不完全統一，而是具有一定程度的靈活性，可以根據問題的需要適當地定出相應的廣義函數類。

基本函數空間和廣義函數空間

泛函分析觀念下的廣義函數理論的核心是把廣義函數看成某個函數空間上的連續線性泛函，即先選取某些性質很好的函數組成的線性空間，再在其中給出適當的收斂概念，這樣的函數空間就稱為基本函數空間，又稱為測試函數空間，而其中每個函數稱為基本函數或測試函數。相應於基個基本空間上的連續線性泛函就稱為該基本空間上的廣義函數。廣義函數全體就稱為相應於基本空間的廣義函數空間。常用的基本空間有□空間和□空間。