廣義函數論

generalized function，distribution

古典函數概念的推廣。關於廣義函數的研究構成了泛函分析中有著廣泛應用的一個重要分支。歷史上第一個廣義函數是由物理學家P.A.M.狄拉克引進的，他因為陳述量子力學中某些量的關係時需要引入了“函數”δ（x）：當x≠0時，δ（x）＝0 ，但按20世紀前所形成的數學概念是無法理解這樣奇怪的函數的。然而物理學上一切點量，如點質量、點電荷、偶極子、瞬時打擊力、瞬時源等物理量用它來描述不僅方便、物理含義清楚，而且當它被當作普通函數參加運算，如對它進行微分和傅里葉變換，將它參與微分方程求解等所得到的數學結論和物理結論是吻合的。這就迫使人們要為這類怪函數確立嚴格的數學基礎。最初理解的方式之一是 把這種怪 函數設想成直 線上某種分佈 所相應的“密度”函數。所以廣義函數又稱為分佈，廣義函數論又稱分佈理論。用分佈的觀念為這些怪函數建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨著泛函分析的發展，L.施瓦爾茨（1945）用泛函分析觀點為廣義函數建立了一整套嚴格的理論，接著I.M.蓋爾范德對廣義函數論又作了重要發展。

廣義函數被廣泛地應用於數學、物理、力學以及分析數學的其他各個分支，例如微分方程、隨機過程、流形理論等等，它還被應用到群的表示理論，特別是它有力地促進了偏微分方程近30年來的發展。