偏序集合

設R是非空集合A上的一個二元關係，若R滿足：自反性、反對稱性、傳遞性，則稱R為A上的偏序關係。

以下為定義：

非嚴格偏序，自反偏序

給定集合S，“≤”是S上的二元關係，若“≤”滿足：

自反性：，有；

反對稱性：，；

傳遞性：∀a，b，，且；

則稱“≤”是S上的 非嚴格偏序或 自反偏序。

嚴格偏序，反自反偏序

給定集合S，“<”是S上的二元關係，若“<”滿足：

反自反性：，有；

非對稱性：∀a，；

傳遞性：∀a，b，；

則稱“<”是S上的 嚴格偏序或 反自反偏序。

嚴格偏序與有向無環圖(dag)有直接的對應關係。一個集合上的嚴格偏序的關係圖就是一個有向無環圖。其傳遞閉包是它自己。

下面是一些主要的例子:

自然數的集合配備了它的自然次序(小於等於關係)。這個偏序是全序。

整數的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。

自然數的集合的有限子集。這個偏序是全序。

自然數的集合配備了整除關係。

給定集合的子集的集合(它的冪集)按包含排序。

向量空間的子空間的集合按包含來排序。

一般地說偏序集合的兩個元素x和y 可以處於四個互斥關係中的恰好一個: 要麼，要麼，要麼，要麼x 和y 是“不可比較”的（非前三者）。全序集是用不存在第四種可能性的集合: 所有元素對都是可比較的，並且聲稱三分法成立。自然數、整數、有理數和實數都關於自然代數排序是全序的，而複數不是。這不是說複數不能全序排序；比如我們可以按詞典次序排序它們，通過當且僅當，但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得 1 大於 100 i。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序，但這不是偏序因為 1 和 i 有相同的絕對大小但卻不相等，違反了反對稱性。

對於一個偏序集，其最少鏈劃分數等於其最長反鏈的長度。