狀態價格指的是在特定的狀態發生時回報為1,否則回報為0的資產在當前的價格。
如果未來時刻有N種狀態,而這N種狀態的價格我們都知道,那麼我們只要知道某種資產在未來各種狀態下的回報狀況,我們就可以對該資產進行定價,這就是狀態價格定價技術。
A是有風險
證券,其目前的價格是
PA ,一年後其價格要麼上升到uPA ,要麼下降到dPA。這就是市場的兩種狀態:上升狀態(概率是q)和下降狀態(概率是)。
基本證券1在
證券市場上升時價值為1,下跌時價值為0;基本證券2恰好相反,在市場上升時價值為0,在下跌時價值為1。基本證券1現在的
市場價格是 ,基本證券2的價格是。
購買 份基本證券1和份基本證券2組成一個假想的證券組合。該組合在T時刻無論發生什麼情況,都能夠產生和證券A一樣的
現金流只要有具備上述性質的一對基本證券存在,我們就能夠通過複製技術,為
金融市場上的任何
有價證券定價。
關於有價證券的價格上升的概率p,它依賴於人們作出的主觀判斷,但是人們對p認識的分歧不影響為有價證券定價的結論。
假設某
股票符合我們上面提到的兩種市場狀態,即期初價值是 ,期末價值是 ,這裡 只可能取兩個值:一是,二是。我們現在想要確定的是依附於該股票的
看漲期權的價值是多少?
我們構造這樣一個投資組合,以便使它與看漲期權的價值特徵完全相同:以
無風險利率r借入一部分資金B(相當於
做空無風險
債券),同時在股票市場上購入
N股標的股票。該組合的成本是,到了期末,該組合的價值V是,R是利率因子。對應於S1 的兩種可能,V有兩個取值:如果,則,如果 , 則
由於期初的組合應該等於看漲期權的價值,即有 ,把N和B 代入本式中,得到看漲期權的價值公式
其中