比較審斂法

判別級數斂散性的方法

在數學領域，收斂性判別法是判斷無窮級數收斂、條件收斂、絕對收斂、區間收斂或發散的方法。比較審斂法又稱比較審斂原理，是判別級數斂散性的一種方法。

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1定理 2證明 3推論

定理

設為一收斂的無窮級數，當中每項都是正實數，而無窮級數中的可為複數。假定對任意n有（這裡代表取複數的模）。

（1）若收斂，則收斂。

（2）若，則級數。

證明

（1）對於有，第一個不等號是因有三角不等式而成立。按假定，符合柯西收斂原理，所以亦然。因為複數集的完備性，知收斂。

（2）設數列分別代表，的部分和。因為對任意n有，所以。由於，根據極限的保不等式性，，即。

推論

（1）如果級數收斂，且存在正整數N，使當時，()成立，則級數收斂；

（2）如果級數發散，且存在正整數N，使當時，()成立，則級數發散。

典型題

判斷一般項為的無窮級數的收斂性：

因為，而一般項為的級數發散（調和級數發散），由比較審斂法知此級數發散。

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