人口系統數學模型

人口控制論和人口系統工程的首要任務是建立人口系統的數學模型。根據人口系統的反饋機制，明確區分狀態變數、控制變數和觀測量，可以建立人口系統的閉環控制模型。模型是對實體的近似描述，如果模型精度滿足所研究問題的要求，模型便被認為是準確的。用中國人口統計數據校驗有關人口系統數學模型時，其近期精度達到0.1%左右，這表明中國人口模型的精度很高。

20世紀30年代A.J.洛特卡建立了人口的定常積分方程模型。40年代萊斯利建立了差分方程組模型。60年代又出現了弗爾斯特的偏微分方程模型。70年代波拉德在萊斯利模型基礎上提出了隨機模型。建立完善的人口系統閉環控制模型，則是最近幾年的事。中國控制論學者在這項工作中取得了重要成果。

人口模型分為兩類，一類是確定性模型，另一類是隨機模型。如果按年齡和時間是連續量還是離散量，又可將人口模型分為連續模型和離散模型兩種。連續模型是由偏微分方程描述的帶邊界控制的分佈參數系統，離散模型是由差分方程組描述的雙線性系統。離散模型可用離散化方法從連續模型得到。連續模型便於理論分析，而離散模型適合於計算機模擬。

人口系統連續模型　兩個自變數的函數()代表時刻一切年齡小於的人口總數，稱為人口函數。，稱為人口密度函數。則人口系統連續模型為(1)

式中()是相對死亡率函數，()為人口遷移率函數，嗘()為絕對出生率函數,()為相對出生率函數，()為初始年齡密度函數。在(1)中唯一能控制的是出生率嗘(),它是系統的控制變數。它出現在系統的邊界條件中，所以模型 (1)又稱為邊界控制的分佈參數系統。這裡的嗘()並不與實時人口狀態()發生聯繫，所以這種控制又稱為開環控制。

實際上，嗘()應與時刻的人口狀態，特別是與處在生育期內婦女的生育水平有密切關係。考慮到這一特點又有如下的人口閉環控制模型：(2)

式中稱作婦女總和生育率，它是人口系統的控制變數。中國人口控制和計劃生育是靠控制()來進行的。稱為婦女育齡區間，為最小生育年齡，為最高生育年齡，為女性比例函數，為婦女生育模式，滿足歸一化條件：

在模型(2)中，嗘與時刻的人口狀態()建立了直接關係，這在控制論中稱為實時狀態反饋，這種控制形式稱為閉環控制（見閉環控制系統）。

人口系統離散模型　如果用表示時刻的年齡構成，其中表示年代年滿周歲但不到周歲的人口數，寫成向量形式

則離散人口模型可寫成

(3)

式中()，()為相應維數的矩陣，

式中

稱為按齡死亡率，為人類能活到的最高年齡;

稱為嬰兒死亡率； 為女性比例函數； 為婦女生育模式，服從歸一化條件

； 為人口遷移向量；為人口初始年齡狀態;()為婦女總和生育率，它是系統控制變數; 是人口狀態變數。模型(3)是一個雙線性系統。在這個模型中,

一項是年代人口經死亡后留存到下一年的人口年齡構成。而

是年代出生的人口留存到下一年的人口, 是年代遷移人口留存到下一年的人口。在模型(3)中，方程左端表示+1年代的人口年齡構成，而方程右端則表現了年代人口年齡的變化。因此在這個模型中，時間、出生、死亡和遷移四個因素以及它們之間的定量關係得到了完全描述。

在模型(1)、(2)、(3)中，觀測變數就是人口指數，例如總人口數

人口控制就是通過改變、調節婦女總和生育率來控制人口狀態，達到改變和控制人口趨勢的目的。