四元術
四元術
我國古代一種四元高次方程組解法，即近代多元高次方程組的分離係數表示法。元成宗大德七年（1303），大都（今北京）數學家朱世傑，撰成《四元玉鑒》一書，為傳統四元術之代表著作。朱世傑四元術，以天、地、人、物四元表示四元高次方程組，其求解方法和解方程組的方法基本一致，早於法國數學家別朱(Bezout)於1775年才系統提出的消元法近五百年，領先於世界，是我國數學史上的光輝成就之一。
四元術是在天元術基礎上逐漸發展而成的。天元術是一元高次方程列方程的方法。天元術開頭處總要有“立天元一為××”之類的話，這相當於現代初等代數學中的“設未知數x為××”。四元術是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數最多時可至四個。四元術開頭處總要有“立天元一為××，地元一為○○，入元一為△△，物元一為**”，即相當於現代的“設x，y，z，為××，○○，△△，**”。天元術是用一個豎列的籌式依次表示未知數(x)的各次冪的係數的，而四元術則是天元術的推廣。按莫若為《四元玉鑒》所寫的序言所記述，四元式則是“其法以元氣居中，立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”，此即在中間擺入常數項(元氣居中)，常數項下依次列入x各次冪的係數。左邊列y，y2，y3，…各項係數，右邊為z，z2，z3，…各項係數，上邊為u，u2，u3，…各項係數，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各項係數依次置入相應位置中。例如：x+y+z+u=0。而(x y z u)2=A，即將(x+y Z+u)2=x2 y2+z2+u2+2xy+2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等記入相應的格子中，而將不相鄰的兩個未知數的乘積如2xu，2yz的係數記入夾縫處，以示區別。
(1)加、減：使兩個四元式的常數項對準常數項，之後再將相應位置上的兩個係數相加、減即可。
(2)乘：
1)以未知數的整次冪乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，則等於以該項係數乘整個四元式各項再將整個四元式下降，以x乘則下降一格，x2乘則下降二格。以y的各次冪乘則向左移，以z乘則右移，以u乘則上升。
2)二個四元式相乘：以甲式中每項乘乙式各項，再將乘得之各式相加。
(3)除(僅限於用未知數的整次冪來除)：等於以該項係數除四元式各項係數之後，整個四元式再上、下、左、右移動。
上述四則運算也就是莫若《四元玉鑒》序言中所說的“陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”。在當時中國數學尚缺少數學符號的情況下，朱世傑利用中國古代的算籌能夠進行如此複雜的運算，實屬難能可貴。
朱世傑四元術精彩之處還在於消去法，即將多元高次方程組依次消元，最後只餘下一個未知數，從而解決了整個方程組的求解問題。其步驟可簡述如下：
1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才運元”一問，最後得出如下圖的兩個二元二行式，這相當於求解或將其寫成更一般的形式其中A0，B1和A1，B0分別等於算籌圖式中的“內二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多項式。朱世傑解決這些二元二行式的消去法即是“內二行相乘、外二行相乘，相消”。也就是F(z)=A0B1-A1B0=0。
此時F(z)只含z，不含其他未知數。解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可
求出x。
2)二元多行式的消法不論行數多少，例如3行，則可歸結為以A2乘(2)式中B2x2以外各項，再以B2乘(1)式中A2x2以外各項，相消得C1x C0=0。(3)以x乘(3)式各項再與(1)或(2)聯立，消去x2項，可得D1x D0=0。
(4)(3)，(4)兩式已是二元二行式，依前所述即可求解。
3)三元式和四元式消法
如在三元方程組中(如下列二式)欲消去y：
式中諸Ai，Bi均只含x，z不含y。(5)，(6)式稍作變化即有以A0，B0與二式括弧中多項式交互相乘，相消得C1y+C0=0。(9)(9)式再與(7)，(8)式中任何一式聯立，相消之後可得D1y+D0=0。(10)
(9)，(10)聯立再消去y，最後得E=0，(11)E中即只含x，z。再另取一組三元式，依法相消得F=0。(12)(11)，(12)只含兩個未知數，可依前法聯立，再消去一個未知數，即可得出一個只含一個未知數的方程，消去法步驟即告完成。