初等矩陣

單位矩陣經過變換得到的矩陣

初等矩陣是指,由單位矩陣經過三種矩陣初等變換得到的矩陣。初等矩陣的模樣可以寫一個3階或者4階的單位矩陣,首先:初等矩陣都可逆,其次,初等矩陣的逆矩陣其實是一個同類型的初等矩陣(可看作逆變換)。例如,交換矩陣中某兩行(列)的位置;用一個非零常數k乘以矩陣的某一行(列);將矩陣的某一行(列)乘以常數k后加到另一行(列)上去。若某初等矩陣左乘矩陣A,則初等矩陣會將原先施加到單位矩陣E上的變換,按照同種形式施加到矩陣A之上。或者說,想對矩陣A做變換,但是不是直接對矩陣A去做處理,而是通過一種間接方式去實現。

概念


初等矩陣
初等矩陣
(1)交換矩陣中某兩行(列)的位置;
(2)用一個非零常數乘以矩陣的某一行;
(3)將矩陣的某一行(列)乘以常數k后加到另一行上去。
三類初等矩陣都是可逆矩陣,即異陣。
三類初等矩陣的值是:
(1):-1
(2):k
(3):1

性質


初等矩陣
初等矩陣
1、單位矩陣第i,j兩行互換得到的方陣為,將矩陣的第i,j兩行互換所得矩陣,即有 = *。
說明:任意矩陣的交換i,j行(列),取決於是左乘,還是右乘,即:*是交換行i,j變換,*是交換列i,j變換。
2、單位矩陣第i行乘以常數k得到初等方陣,將矩陣的第i行乘以k得到矩陣,即有= *。
說明:任意矩陣的行(列)乘以常數k,取決於是左乘,還是右乘,即:*是矩陣行乘以常數k變換,*是矩陣列乘以常數k變換。
3、將單位矩陣的第i行的k倍加到第j行得到初等方陣,矩陣的第i行的k倍加到第j行得到矩陣,即有= *;將單位矩陣的第j列的k倍加到第i列得到初等方陣,矩陣的第j列的k倍加到第i列得到矩陣,即有= *。
說明:任意矩陣與初等矩陣相乘,表示對A進行初等變換,但對A進行的是行初等變換還是列變換,取決於初等矩陣是左乘,還是右乘,即:*是行初等變換,此時 的變換表示將 的第j行的k倍加到第i行(順序從前向後);*是列初等變換,此時的變換表示將 的第j列的k倍加到第i列(順序從後向前)。

應用


(1)在解線性方程組中的應用
初等行變換不影響線性方程組的解,也可用於高斯消元法,用於逐漸將係數矩陣化為標準形。初等行變換不改變矩陣的核(故不改變解集),但改變了矩陣的像。反過來,初等列變換沒有改變像卻改變了核。
(2)用於求解一個矩陣的逆矩陣
有的時候,當矩陣的階數比較高的時候,使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時,通常使用將原矩陣和相同行數(也等於列數)的單位矩陣並排,再使用初等變換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣,這時,右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣。