連通性

連通性是點集拓撲學中的基本概念。

其定義如下：

稱拓撲空間X為連通的，若X中除了空集和X本身外沒有別的既開又閉子集。

拓撲空間X的子集E稱為連通的，若E作為X的子空間在誘導拓撲下是連通的。等價描述

1. 稱拓撲空間X連通，若X不能表示成兩個非空不交開集的並。

2. 稱拓撲空間X連通，若當它分成兩個非空子集的並A∪B時，有A交B的閉包非空，或B交A的閉包非空。

3.稱拓撲空間X連通，若X內即開又閉的子集只有X與空集。

【連通的性質】

1. 實數集的子集是連通的，當且僅當它是一個區間

2. 連通性由同胚保持，從而是空間的拓撲性質

3. 設Ω是X的一族子集，它們的並是整個空間X，每個Ω中的成員連通，且兩兩不分離（即任意兩個集合的閉包有非空交），則X連通

4. 若X,Y連通，則乘積空間X×Y連通

1. 道路連通：

稱X為道路連通的，若任取X中的兩點x,y，有連接x,y的道路

2. 局部道路連通

稱X為局部道路連通的，若對任意X中的點x,x的任一領域U包含x的一個道路連通鄰域V

3. 局部連通

稱X為局部連通的，若對任意X中的點x,x的任一領域U包含x的一個連通鄰域V

道路連通空間一定是連通的，反之不然。

道路連通與局部道路連通之間沒有必然聯繫。

連通與局部連通之間沒有必然聯繫。