可測基數

波蘭數學家巴拿赫(S.Banach)和波蘭數學家庫拉托夫斯基(K.Kuratowski)於1920年證明了：若則在連續統上不存在(可數可加)測度，因而，可測基數的存在性不是簡單的問題。研究可測基數，肇始於1930年的巴拿赫等人。兩種可測基數之間有如下關係：首先，由定義可直接可得，二值可測基數必是實值可測基數。其次，美國數學家烏拉姆(S.M.Ulam)於1930年證明了，每個實值可測基數要麼 , 要麼是二值可測基數。於是可推知，在廣義連續統假設下，實值可測基數與二值可測基數相同。

利用以色列學者索洛韋(R.M.Solovay)於1971年的結果可以證明，實值可測基數κ必是弱馬赫羅基數，且小於κ的弱馬赫羅基數組成κ的駐子集，烏拉姆早在1930年就證明了最小的可測基數≥最小的不可達基數。大約1960年，開斯勒(H.J.Keisler)和波蘭學者塔爾斯基(A.Tarski)引入超積方法研究可測基數，證明了最小的可測基數比最小的不可達基數要大。另外，由於二值可測基數有樹性質，於是得知，二值可測基數必是弱緊基數，若假設“存在二值可測基數”的大基數公理成立，則有如下這些關於可構造公理與廣義連續統假設的結論：斯科特(D.S.Scott)於1961年用超冪方法證明了，若存在可測基數，則，即可構造公理不成立；羅伯托姆(F.Rowbottom)的下述結論更指出了大量的子集是不可構造的：若存在可測基數κ，則對每個滿足的基數λ，僅有λ個可構造子集，特別地，ω僅有可數個可構造子集；法國數學家、工程師萊維(A.Lévy)和以色列學者索洛韋於1971年用力迫法證明了，設“ZF+存在可測基數”相容，則“ZF+存在可測基數+CH”以及“ZF+存在可測基數+ᒣCH”都相容，這兒CH表示連續統假設，此定理斷定，即使加上“存在可測基數”的假定，對於連續統假設的真假，ZF系統仍不能做出明確的判斷。

可測基數(measurable cardinal)是一類重要的大基數，指利用抽象測度概念定義的基數。設κ是無窮基數，若任何基數為κ的集合A上，都存在λ可加實值測度(或λ可加2值測度)，則稱κ是可測基數。若是(或)可測基數，則稱κ是實值可測(或二值可測)基數，兩者合稱為 可測基數。

定義 設S是一無窮集，是單位閉區間，函數滿足下列性質：

(i) ；

(ii) 如果，則有 ；

(iii) 對所有，有 ；

(iv) 如果是兩兩不交的，則

則稱是S上的一個非平凡的、可加實值測度。其中(iii)表示其非平凡性，(iv)表示其可加(即可數可加)性。若μ只取0，1二值，則稱是S上的二值測度。

設μ是S上一二值測度，令

則U是S上的非主完全的超濾，反之，若U是S上完全的超濾。函數定義如下：

則μ又是S上的二值測度。

一般地，我們可以證明：如果μ是集S上的二值測度，則μ是κ-可加的充要條件為U是κ-完全的。

由於S上的κ-完全超濾和S上的κ-可加測度之間的這種內在聯繫，所以 也把超濾說成為測度。

研究實值可測基數，也是大基數研究中一個子課題，這裡省略。

引理S上的超濾U是κ-完全的充要條件為不存在S的r<κ個部分的划 分使得所有 。

定義 設μ是S上一測度，集合稱為μ的原子，若，並且對每一個都有 或。

S上的測度是非原子的，若沒有原子。

引理 若μ是κ上的非原子測度，則對任何，都存在不交的使得。

定理 如果κ是具有非平凡的測度μ的最小基數，則μ是κ-可加的(即如果是κ的兩兩不交的子集族，，則 )。

推論 如果κ是具有非平凡的測度，則κ是不可及的。

定理 若κ上存在κ-可加非原子的測度，則。

定理 如果κ上的測度μ有原子，則κ上存在二值測。

定義κ是可測基數(Measurable cardinal)的充要條件為且κ上有二值κ-可加非平凡的測度。或者說κ可測κ上存在κ-完全的非主超濾。

推論 可測基數是不可及基數。