克羅內克積

如果A是一個的矩陣，而B是一個的矩陣，克羅內克積則是一個的分塊矩陣

更具體地可表示為

克羅內克積是張量積的特殊形式，因此滿足雙線性與結合律：

其中，A,B和C是矩陣，而k是常量。

克羅內克積不符合交換律：通常，不同於。

和 是置換等價的，也就是說，存在置換矩陣P和Q，使得

如果A和B是方塊矩陣，則 和 甚至是置換相似的，也就是說，我們可以取。

如果A、B、C和D是四個矩陣，且矩陣乘積AC和BD存在，那麼：

這個性質稱為“混合乘積性質”，因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出，是可逆的當且僅當A和B是可逆的，其逆矩陣為：

如果A是矩陣，B是矩陣，表示單位矩陣，那麼我們可以定義克羅內克和為：

矩陣的克羅內克積對應於線性映射的抽象張量積。特別地，如果向量空間V、W、X和Y分別具有基和，且矩陣A和B分別在恰當的基中表示線性變換和，那麼矩陣表示兩個映射的張量積，關於的基和的類似基。

兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克和，則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。

克羅內克積轉置運算符合分配律：

克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如，考慮方程，其中A、B和C是給定的矩陣，X是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為

這樣，從克羅內克積的性質可以推出，方程具有唯一的解，當且僅當A和B是非奇異矩陣。（Horn & Johnson 1991，Lemma 4.3.1）.

在這裡，vec(X)表示矩陣X的向量化，它是把X的所有列堆起來所形成的列向量。

如果把X的行堆起來，形成列向量x，則也可以寫為（Jain 1989，2.8 block Matrices and Kronecker Products）。

儘管沒有明顯證據證明利奧波德·克羅內克是第一個定義並使用這一運算的人，克羅內克積還是以其名字命名。確實，在歷史上，克羅內克積曾以Johann Georg Zehfuss名字命名為Zehfuss矩陣。