確界原理

設實數集S非空。若存在實數M， ，有，則稱M是S的一個上界。而若存在實數m， ，有，則稱m是S的一個下界。

顯然，所有大於M的數都是S的上界，所有小於m的數都是S的下界。因此一個數集的上界（或下界）不是唯一的。

設非空數集S有上界，若存在實數β滿足以下兩個條件：

① ，有；（即β是S的一個上界）

② ，有。（即再小一點就不是上界）

則稱實數β為S的上確界，記為。

同理，若存在實數α滿足以下兩個條件：

① ，有；（即α是S的一個下界）

② ，有。（即再大一點就不是下界）

則稱實數α為S的下確界，記為。

有時上確界也被叫做最小上界，下確界也被叫做最大下界。

注意：S的上確界（或下確界）可能屬於S，也可能不屬於S。當上確界（或下確界）屬於S時，不難證明上確界（或下確界）就是S中的最大數（或最小數）。

確界原理：任一有上界的非空實數集必有上確界（最小上界）；同樣任一有下界的非空實數集必有下確界（最大下界）。

實數的這個性質是波爾查諾(Bolzano,B.)於1817年發現的。

由戴德金定理證明非空有上界數集必有上確界，非空有下界數集必有下確界同理。

設S為一非空有上界數集，即 成立。取數集B為S所有上界的集合，。則：

①由取法可知，故。 ，故，因此。

② 。

③∵A中任何元素都不是S的上界，∴ 。

又∵B中任何元素都是S的上界，∴ 。

故必有。

∴由戴德金定理可知，要麼A中有最大值，要麼B中有最小值。設這個值為η，並且，恆成立。

假設η是A中的最大值，即，那麼 。

又∵ ，∴ 。

但，與B中任何元素都是S的上界矛盾。

∴η是B中的最小值，即S有最小上界（上確界）。

若把補充到數集當中，並規定任意一實數，的關係為,則確界的概念可擴充為：若數集S無上界，則規定為S的非正常上確界，記做；若S無下界，則定義為S的非正常下確界，記做，相應的，若S有上確界或者下確界，則此定義分別成為正常上確界和正常下確界。

即：任意一非空數集必有上確界和下確界（包括正常的和非正常的）

確界原理作為整個極限理論的基礎，並且由於它直觀易懂，經常代替戴德金定理作為實數公理，從而導出一系列與極限相關的性質，如單調有界定理，柯西審斂原理等。在此簡單介紹用確界原理推導柯西審斂原理。

柯西審斂原理：數列{x} 收斂的充要條件是，，當時，有。

我們把條件“，，當時，有”稱為柯西條件，把滿足柯西條件的數列稱為柯西序列，於是{x}收斂就等價於是柯西序列，或滿足柯西條件。

其幾何意義表示，數列收斂的充要條件是，對任意給定的正數ε，在數軸上一切具有足夠大號碼的點中，任意兩點的距離小於ε。

證明：

必要性：（略，可參考相應詞條）

充分性：先證明柯西序列是有界的。

因是柯西序列，，，當時，有。

注意一旦ε確定之後，就被當做常數，於是由上述不等式以及三角不等式解得，因此當時，有界。而把數列的前N項添加進去顯然還是有界的，於是得到對任意自然數n，有界。設。

現構造一個集合S，集合S中的元素x滿足：在區間上最多有的有限項且至少有一個的項。顯然，於是S非空；而S又是有界的，M是一個上界。這是因為假設M不是上界，即存在，使得，即，與S的定義不符。

根據確界原理，S存在上確界，設，現證。

，考慮區間，這個區間上必然有的無限項。不妨設，且。

因是柯西序列，由定義，對上述的ε，，令，當時，任取某個，有

∴