實數公理

實數公理是在集合論發展的基礎上，由希爾伯特於1899年首次提出的。後來他所提的公理系統在相容性與獨立性方面得到了進一步改進，逐步演變為現在的公理系統。實數公理來源於實數理論的研究，實數理論包括對實數的結構，運演演算法則和拓撲性質等方面問題的研究。

實數集有多重結構，例如:

代數結構：從代數上看實數集是一個域。

序結構：實數集是一個有序集。

拓撲結構：實數集是一個拓撲空間,並且有諸如完備性，可分性，和列緊性等一些非常好的性質。

實數理論包含了深刻而豐富的信息，實數理論是極限論的基礎，也是近代分析數學的最重要基礎之一。

設R是一個集合，若它滿足下列三組公理，則稱為實數系，它的元素稱為實數:

(I) 域公理

對任意，有R中唯一的元素與惟一的元素分別與之對應，依次稱為a，b的和與積，滿足：

1.（交換律）對任意 ，有，。

2.（結合律）對任意 ，有， 。

3.（分配律）對任意 ，有。

4.（單位元）存在R中兩個不同的元素，記為0,1分別稱為加法單位元與乘法單位元，使對所有的，有

，。

5.（逆元）對每個 ，存在R中惟一的元素，記為-a，稱為加法逆元；對每個 \{0}，存在R中惟一的元素，記為，稱為乘法逆元，使，。

(II) 序公理

(a)

在任意兩個元素 之間存在一種關係，記為“>”，使對任意 ，滿足：

1.（三歧性） ,,三種關係中必有一個且僅有一個成立。

2.（傳遞性）若且則。

3.（與運算的相容性）若，則；若，則。

(b)

在任意兩個元素 之間存在一種關係，記為“≥”，使對任意 ，滿足：

1.（反對稱性）若且,那麼。

2.（傳遞性）若且則。

3.（與運算的相容性）若，則；若且，則。

註：對於序公理a，b這兩種描述是等價的。因為我們可以通過其中一個符號及其性質來定義另一個符號。

(III)(1) 阿基米德公理（也稱阿基米德性質，它並不是嚴格意義上的公理，可以由連續性公理證明。在歐幾里得的幾何書中，它僅被描述為一個命題）。

阿基米德公理：對任意 ， 存在正整數n，使。

(III)(2)完備性公理

R中的任何基本列都在R中收斂。

稱滿足公理組I的集為域；滿足公理組I與II的集為有序域；滿足公理組I，II與(III)(1)的集為阿基米德有序域；滿足公理組I～III的集為完備阿基米德有序域或完備有序域。這樣，實數系就是完備阿基米德有序域。所有有理數的集合Q就是阿基米德有序域，但它不滿足完備性公理。根據域公理，可以定義實數的減法和除法，並證明四則運算的所有性質。序公理的1與2表明關係“>”是R的全序。

用域公理和序公理可以定義正數、負數、不等式、絕對值，並證明它們具有通常的運算性質。加上阿基米德公理與完備性公理，可以證明實數的其他性質以及冪、方根、對數等的存在性。實數公理有多種不同的提法，常見的另一種提法是把公理組III換成

(III)’連續性公理（戴德金公理）

若A，B是R的非空子集且 ，又對任意的 及任意的 恆有，則A有最大元或B有最小元，即存在 ，使 。

這裡把戴德金定理用作連續性公理。另一個常用作連續性公理的確界原理。公理組I～III與公理組I+II+(III)’是等價的，（注意不是III<=>(III)’）。完備性公理可以換成閉區間套定理的形式。類似地，單調收斂定理，聚點原理等也可用作連續性公理。公理組II也有其他提法。用公理定義了實數系R后，可以繼續定義R的特殊元素正整數、整數等。例如，由數1生成的子加群的元素稱為整數；由數1生成的子域的元素稱為有理數。

但這裡有一個很微妙的問題，即與連續性公理等價的7個實數系的基本定理（確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則）中，並不是每一個都能推出阿基米德公理的。具體來說，柯西收斂準則和閉區間套定理就是如此，其他5個基本定理則可以推出阿基米德公理。因此，以連續性公理作為實數公理之一時，阿基米德公理可以去掉，這時連續性和完備性是統一的，所以連續性公理也可以稱為完備性公理；而以柯西收斂準則或閉區間套定理代替連續性公理時，連續性和完備性是分離的，必須補充阿基米德公理，這時柯西收斂準則或比區間套定理就只能稱為完備性公理，是為了公理的完備而存在的。

滿足這些公理的任何集合R，都可被認為是實數集的具體實現，或稱為實數模型。需要說明的是，實數公理下的系統是相容的，範疇的。

從另外一個角度來想，希爾伯特實數公理是自上而下建立數系的，用公理規定實數，然後再定義整數、正整數直至自然數。那麼反過來行不行呢，實數的這些公理能不能從其他的假設中推出來呢，事實上，這就是實數的構造理論所做的事了，在菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》的緒論中，就展示了用戴德金分割的方法從有理數定義無理數的過程，從而建立了實數，而有理數是依賴於先建立整數的，整數又是依賴於先建立自然數的，當集合論發展起來之後，自然數又依靠集合來定義了（即皮亞諾公理），集合是最原始的概念，無法再定義的概念，整個自下而上的過程可以參見蘭道的《分析基礎》，從此，整個數學的基礎就建立在了集合論之上，數學再也不能排除掉集合這一現代概念了，當英國數學家羅素發現了集合中的羅素悖論之後，引發了第三次數學危機，促使集合論又不得不加以改進，致使樸素集合論發展為近代集合論，現代的數學基礎終於建立在了公理集合論的基礎之上（ZFC公理系統）。

一、戴德金分割（分划）模型

二、柯西數列模型

三、魏爾斯特拉斯十進位小數模型

四、康托爾閉區間套模型（可歸入第三個模型）

實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則，共7個定理，它們彼此等價，以不同的形式刻畫了實數的連續性，它們同時也是解決數學分析中一些理論問題的重要工具，在微積分學的各個定理中處於基礎的地位。7個基本定理的相互等價不能說明它們都成立，只能說明它們同時成立或同時不成立，這就需要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而說明它們同時都成立，引進方式主要是承認戴德金公理，然後證明這7個基本定理與之等價，以此為出發點開始建立微積分學的一系列概念和定理。在一些論文中也有一些新的等價定理出現，但這7個定理是教學中常見的基本定理。

一、上（下）確界原理

非空有上（下）界數集必有上（下）確界。

二、單調有界定理

單調有界數列必有極限。具體來說：

單調增（減）有上（下）界數列必收斂。

三、閉區間套定理（柯西-康托爾定理）

對於任何閉區間套，必存在屬於所有閉區間的公共點。若區間長度趨於零，則該點是唯一公共點。

四、有限覆蓋定理（博雷爾-勒貝格定理，海涅-波雷爾定理）

閉區間上的任意開覆蓋，必有有限子覆蓋。或者說：閉區間上的任意一個開覆蓋，必可從中取出有限個開區間來覆蓋這個閉區間。

五、極限點定理（波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、聚點定理）

有界無限點集必有聚點。或者說：每個無窮有界集至少有一個極限點。

六、有界閉區間的序列緊性（緻密性定理）

有界數列必有收斂子列。

七、完備性（柯西收斂準則）

數列收斂的充要條件是其為柯西列。或者說：柯西列必收斂，收斂數列必為柯西列。

註：只有充要條件的命題才能稱之為“準則”，否則不能稱為“準則”。

以上7個命題稱為實數系的基本定理。實數系的7個基本定理以不同形式刻畫了實數的連續性，它們彼此等價。在證明中，可採用單循環證明的方式證明它們的等價性。它們之間等價性的證明可以參看《數學分析札記》。

在閉區間上連續函數的性質的證明中，實數系的基本定理是非常重要的工具，但是它們之間的等價性不能說明它們都成立，必須要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而以上的命題都成立，進過反覆仔細琢磨，問題就歸結為實數的引入問題了。如在菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》 中，可以用實數的連續性來推出確界定理，在華東師範大學數學系編的《數學分析（上冊）》（第四版）中就通過實數十進位小數形式推出確界定理，這也說明了建立實數系的嚴格定義的重要性。從邏輯上，應該是先建立了實數，有了實數的定義之後，再得出實數系的基本定理，從而能夠在實數域上建立起嚴格的極限理論，最後得到嚴格的微積分理論，但數學歷史的發展恰恰相反，最先產生的是微積分理論，而嚴格的極限理論是在19世紀初才開始建立的，實數系的基本定理已經基本形成了之後，19世紀末實數理論才誕生，這時分析的算數化運動才大致完成。