隱函數

隱函數是由隱式方程所隱含定義的函數。設是某個定義域上的函數。如果存在定義域上的子集，使得對每個屬於，存在相應的滿足，則稱方程確定了一個隱函數。記為。顯函數是用來表示的函數，顯函數是相對於隱函數來說的。

對於一個已經確定存在且可導的情況下，我們可以用複合函數求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對進行求導，由於其實是的一個函數，所以可以直接得到帶有 的一個方程，然後化簡得到 的表達式。

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法：

方法①：先把隱函數轉化成顯函數，再利用顯函數求導的方法求導；

方法②：隱函數左右兩邊對求導（但要注意把看作的函數）；

方法③：利用一階微分形式不變的性質分別對和求導，再通過移項求得的值；

方法④：把n元隱函數看作(n+1)元函數，通過多元函數的偏導數的商求得n元隱函數的導數。

舉個例子，若欲求的導數，那麼可以將原隱函數通過移項化為的形式，然後通過（式中分別表示和對的偏導數）來求解。

一個函數，隱含在給定的方程 中，作為這方程的一個解（函數）。

例如如果不限定函數連續，則式中正負號可以隨x而變，因而有無窮個解；如果限定連續，則只有兩個解（一個恆取正號，一個恆取負號）；如果限定可微，則要排除，因而函數的定義域應是開區間，但仍然有兩個解；如果還限定在適合原方程的一個點的鄰近範圍內，則只有一個惟一的解（當起點在上半平面時取正號，在下半平面時取負號）。

微分學中主要考慮函數與都連續可微的情形。

這時可以利用複合函數的微分法對方程(1)直接進行微分：

可見，即使在隱函數難於解出的情形，也能夠直接算出它的導數，唯一的條件是

隱函數理論的基本問題就是：在適合原方程(1)的一個點的鄰近範圍內，在函數連續可微的前提下，什麼樣的附加條件能使得原方程(1)確定一個惟一的函數，不僅單值連續，而且連續可微，其導數由(2)完全確定。隱函數存在定理就用於斷定(3)就是這樣的一個條件，不僅必要，而且充分。

設方程確定是的函數，並且可導。如今可以利用複合函數求導公式求出隱函數對的導數。

例1 方程 確定了一個以為自變數，以為因變數的數，為了求對的導數，將上式兩邊逐項對求導，並將看作的複合函數，則有：

即 於是得 從上例可以看到，在等式兩邊逐項對自變數求導數，即可得到一個包含的一次方程，解出即為隱函數的導數。

例2 求由方程所確定的隱函數的導數。

解：將方程兩邊同時對求導，得：

解出即得

例3 求由方程所確定的隱函數的導數。

解：將方程兩邊同時對求導，得

解出即得。