良序關係

良序關係

設集合(S,≤)為一全序集,≤是其偏序關係,若對任意的S的非空子集,在其序下都有最小元素,則稱≤為良序關係,(S,≤)為良序集。

例子及反例


1、自然數集在通常序下是良序集。
2、整數集在通常序下不是良序集,例如該集合本身就沒有一個最小元素。
3、整數的下列關係R是良序的:x R y,當且僅當下列條件之一成立:
x=0;
x是正數,而y是負數;
x和y都是正數,而x≤y;
x和y都是負數,而y≤x。
這個序關係可以表示為:
0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……
4、實數集在通常序下不是良序集。

良序性質


在良序集合中,除了整體上最大的那個(如果存在的話),所有的元素都有一個唯一的後繼元:比它大的元素組成的集合中,最小的元素。但是,除整體最小元之外的所有元素不一定都有前驅元。例如,“良序的例子和反例”一節第三個例子中的良序集中,-1並不是最小元,但仍然沒有前驅元。
任何良序集合,都序同構於一個唯一的序數,稱為這個集合的序型。該集合中的每個元素都對應著一個比其序型小的序數。

等價條件


對全序集(S,≤),下列命題是等價的:
(1)(S,≤)是良序集,即其所有非空子集合都有最小元素。
(2)超限歸納法在整個全序集(S,≤)上成立。
(3)(S,≤)上的所有嚴格遞減序列必定在有限多步驟內終止(假定依賴選擇公理)。
證明:使用循環證明法。
(1)→(2):反設超限歸納法在(S,≤)上不成立,則存在一個性質φ,使得對S中任意元素x,只要φ對S中小於x的任何元素都成立,那麼φ對x也成立,然而φ並非對S中所有元素都成立,即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集,則A在序關係≤下不可能有最小元素,否則該最小元素應滿足φ,矛盾。
(2)→(3):對序列的首項使用超限歸納法,則結論是顯然的。
(3)→(1)(依賴選擇公理):對S的任一非空子集A,用選擇公理每次從A中選出一個元素,使得從第二次開始每次選出的元素都比前一次的小,則選出的所有元素構成一嚴格遞減序列,該序列必定在有限步內終止,但序列終止的唯一可能是選出了一個元素x使得A中沒有比x小的元素,從而x是A中的最小元素。