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垛積術

垛積術

垛積術在我國古代主要用於天文曆法。垛積術也就是高階等差級數求和。

簡介


對於一般等差數列和等比數列,我國古代很早就有了初步的研究成果。
北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創“隙積術”,開始研究某種物品(如酒罈、圓球、棋子等)按一定規律堆積起來求其總數問題,即高階等差級數求和問題,並推算出長方台垛公式。南宋數學家楊輝在《詳解九章演演算法》和《演演算法通變本末》中,豐富和發展了沈括的隙積術成果,提出了一些新的垛積公式。沈括、楊輝等所討論的級數與一般等差級數不同,前後兩項之差並不相等,但是逐項差數之差或者高次差相等。對這類高階等差級數的研究,在楊輝之後一般稱為“垛積術” 。

發展歷史


朱世傑對於垛積術作了進一步的研究,並得到一系列重要的高階等差級數求和公式,這是元代數學的又一項突出成就。例如,朱世傑在《四元玉鑒》中提出了著名的三角垛公式:11 2 11111 2pr r r r prnpn n n n p!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )+ + + -=.=++ + +LL其中p=1,2,3,4.。在這一串三角垛公式中,后式恰好是把前式結果作為一般項的新級數的求和公式。又如嵐峰形垛公式:11 2 11121 2 1 1pr r r r p rrnpn n n n p p n!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )[( ) ]+ + + -=.=++ + + + +LL·也是很精彩有趣的。他還研究了更複雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。總結和歸納出這些公式並不是一件輕而易舉的事情,是有相當難度的。朱世傑究竟如何得到這些公式,由於史料缺載,至今尚不清楚。朱世傑《四元玉鑒》所載“古法開七乘方圖”,比楊輝所引賈憲“開方作法本源圖”(賈憲三角)多出了平行於兩斜邊的許多斜線,有些學者推測,從這些斜線相連的數字關係可以得出一些有意義的結論,其中包括推導出某些垛積公式①。

沈括隙積術


北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇,首創隙積術:隙積者,謂積之有隙者,如累棋、層壇及洒家積罌之類。雖似覆斗,四面皆殺,緣有刻缺及虛隙之處,用芻童法求之,常失於數少。餘思而得之,用爭童法為上位;下位別列:下廣以上廣減之,余者以高乘之,六而一,併入上位。假令積罌:最上行縱橫各二罌,最下行各十二罌,行行相次。先以上二行相次,率至十二,當十一行也。以芻童法求之,倍上行長得四,併入下長得十六,以上廣乘之,得之三十二;又倍下行長得二十四,併入上長,得二十六,以下廣乘之,得三百一十二;並二位得三百四十四,以高乘之,得三千七百八十四。重列下廣十二,以上廣減之,餘十,以高乘之,得一百一十,併入上位,得三千八百九十四;六而一,得六百四十九,此為罌數也。芻童求見實方之積,隙積求見合角不盡,益出羨積也
一個層罈,共h 層,上面axb,下底 c x d,
這是二階等差級數求和問題:
沈括給出的公式:

楊輝垛積術


楊輝在《詳解九章演演算法》《商功》篇闡述了方垛,芻甍垛,芻童垛,和三角垛。

方垛

果子以垛,下方十四個,問計幾何?術曰:下方加一,乘下方為平積。又加半為高,以乘下方為高積。如三而一.

芻童垛

即長方形立體垛,上面長n個,寬m個,高h個:

三角垛

三角垛下廣一面十二個,上尖,高十二個,問:計幾何?
術曰:下廣加一,乘下廣。平積,下廣加二乘之,立高方積,如六而一。

朱世傑垛積術


三角垛編輯

《四元玉鑒》 《果垛疊藏》第一問:
“今有三角垛果子一所,值錢一貫三百二十文,只雲從上一個值錢二文,次下層層每個累貴一文,問底子每面幾何?”
答曰:九個。
術曰:立天元一為每個底子,如積求之,得三萬一千六百八十為益實十為從方,二十一為從上廉,一十四為下廉,三為從隅,三桀方開之,得每個底子,合問。
三角垛級數:
三角垛自上而下,每邊的果子數是:
1,2,3,4,5,6....n.
自上而下,每個果子值錢:
2,3,4,5,6.....(n+1}
三角果子垛價值V由下列級數表示
.
這是一個已知級數和,倒求 n 的數學問題。
朱世傑用天元術,令天元一 為每底邊的果子數(x=n)
朱世傑用的求和公式
v=1320 得:
解之,得
x=n=9

三角落一形垛

四角落一形垛

嵐峰形垛

三角嵐峰形垛

撒星更落一形

三角撒星更落

四角嵐峰形垛