垛積術

對於一般等差數列和等比數列，我國古代很早就有了初步的研究成果。

北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創“隙積術”，開始研究某種物品（如酒罈、圓球、棋子等）按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數求和問題，並推算出長方台垛公式。南宋數學家楊輝在《詳解九章演演算法》和《演演算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的隙積術成果，提出了一些新的垛積公式。沈括、楊輝等所討論的級數與一般等差級數不同，前後兩項之差並不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。對這類高階等差級數的研究，在楊輝之後一般稱為“垛積術” 。

朱世傑對於垛積術作了進一步的研究，並得到一系列重要的高階等差級數求和公式，這是元代數學的又一項突出成就。例如，朱世傑在《四元玉鑒》中提出了著名的三角垛公式：11 2 11111 2pr r r r prnpn n n n p!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )+ + + -=.=++ + +LL其中p=1，2，3，4.。在這一串三角垛公式中，后式恰好是把前式結果作為一般項的新級數的求和公式。又如嵐峰形垛公式：11 2 11121 2 1 1pr r r r p rrnpn n n n p p n!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )[( ) ]+ + + -=.=++ + + + +LL·也是很精彩有趣的。他還研究了更複雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。總結和歸納出這些公式並不是一件輕而易舉的事情，是有相當難度的。朱世傑究竟如何得到這些公式，由於史料缺載，至今尚不清楚。朱世傑《四元玉鑒》所載“古法開七乘方圖”，比楊輝所引賈憲“開方作法本源圖”（賈憲三角）多出了平行於兩斜邊的許多斜線，有些學者推測，從這些斜線相連的數字關係可以得出一些有意義的結論，其中包括推導出某些垛積公式①。

北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇，首創隙積術：隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及洒家積罌之類。雖似覆斗，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失於數少。餘思而得之，用爭童法為上位；下位別列：下廣以上廣減之，余者以高乘之，六而一，併入上位。假令積罌：最上行縱橫各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當十一行也。以芻童法求之，倍上行長得四，併入下長得十六，以上廣乘之，得之三十二；又倍下行長得二十四，併入上長，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二；並二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下廣十二，以上廣減之，餘十，以高乘之，得一百一十，併入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此為罌數也。芻童求見實方之積，隙積求見合角不盡，益出羨積也

一個層罈，共h 層，上面axb,下底 c x d，

這是二階等差級數求和問題：

沈括給出的公式：

楊輝在《詳解九章演演算法》《商功》篇闡述了方垛，芻甍垛，芻童垛，和三角垛。

果子以垛，下方十四個，問計幾何？術曰：下方加一，乘下方為平積。又加半為高，以乘下方為高積。如三而一.

即長方形立體垛，上面長n個，寬m個，高h個:

三角垛下廣一面十二個，上尖，高十二個，問：計幾何?

術曰：下廣加一，乘下廣。平積，下廣加二乘之，立高方積，如六而一。

《四元玉鑒》 《果垛疊藏》第一問：

“今有三角垛果子一所，值錢一貫三百二十文，只雲從上一個值錢二文，次下層層每個累貴一文，問底子每面幾何？”

答曰：九個。

術曰：立天元一為每個底子，如積求之，得三萬一千六百八十為益實十為從方，二十一為從上廉，一十四為下廉，三為從隅，三桀方開之，得每個底子，合問。

三角垛級數：

三角垛自上而下，每邊的果子數是：

1，2，3，4，5，6....n.

自上而下，每個果子值錢：

2，3，4，5，6.....(n+1}

三角果子垛價值V由下列級數表示

.

這是一個已知級數和，倒求 n 的數學問題。

朱世傑用天元術，令天元一 為每底邊的果子數（x=n)

朱世傑用的求和公式

令

v=1320 得：

解之，得

x=n=9