沃利斯公式

形如

的公式稱為 沃利斯公式。

它可以通過

(m為奇數整數)和

(m為偶數整數)

得到，這個公式最早由沃利斯(J.Wallis)得到，並於1655年發表。他原來的結果是

這不僅是數學史上較早的無窮乘積的例子，也是第一個將π表為容易計算的有理數列的極限的公式，但對π的計算，現在已有快速的方法。

沃利斯無疑是牛頓之前最重要的英國數學家，他在無窮小分析領域做出他最重要的貢獻。其中一項貢獻是，在計算的值時，他領先於歐拉論述伽馬函數(或階乘函數)的某些作品。從卡瓦列里、費馬及其他人的作品中，沃利斯得知，這個積分代表了半圓的面積，因此，這個面積是。但是，如何能夠用無窮小的方法，通過直接求這個積分的值來得到答案呢？沃利斯回答不了這個問題，但他的歸納法和插值法產生了一個十分有趣的結果。在針對n的幾個正整數值求出 的值之後，沃利斯通過不完全歸納法得出了這樣一個結論：這個積分的值是。假設這個公式也適用於n的分數值，沃利斯得出結論：

式中，或者 。這是歐拉的貝塔函數的一個特例，即：

式中，在那些批評沃利斯的幾何算術化的人當中，托馬斯·霍布斯(1588～1679)是最重要的一位，他極力反對“把代數應用於幾何的整個群體”，並把《無窮算術》稱為“符號的瘡痂”。然而，霍布斯的數學自負超過他的數學能力。他堅持認為，已經解決了化圓為方及其他古代幾何問題。沃利斯完全有資格不理睬霍布斯，繼續做出更多的發現。他最有名的成果當中包括下面這個無窮乘積:

這個表達式很容易得到，只要利用下面這個現代定理:

再加上下面這兩個公式:

(m為奇數整數)和

(m為偶數整數)

(符號m!!代表乘積，它依據m是奇數還是偶數結束於1或2。)因此，上述求的公式被稱作 沃利斯公式。然而，沃利斯用來實現他那個求的無窮乘積的方法，實際上還是基於他的歸納和插值原理，這一次是應用於，這個積分他不能直接求出，因為缺少二項式定理。