柯西方程

柯西方程是函數方程

此方程的解稱為加性函數，在有理數定義域上，利用初等代數我們很容易得出有一組函數滿足條件，是,其中c是任意實數。定義域是實數時，同樣有一組函數滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到，以下條件可得f(x)是正比例函數：

◎f是連續函數（在1821年已被柯西證明），後來在1875年被達布將條件減弱為f在某點連續。

◎存在,函數在(a,b)有界

◎f單調，或f在某開區間單調。

◎存在,使得,有,或者存在,使得,有

另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理成立），那麼有無窮非的函數滿足該條件，這是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念證明的。

希爾伯特第五問題是該方程的推廣

存在實數c使得解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希爾伯特第三問題中，從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變數（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。

,那麼有,即

,那麼由,即

利用數學歸納法，可知,將x用代替，那麼有,任意有理數,有,以上合起來，就是任意有,取,可得,得證。

由於函數連續，且有理數稠密，不難說明在x為任意實數上成立（利用有理數逼近）。

定義函數,顯然g是實值函數。

由於

所以g(x)也是滿足柯西函數方程的函數

因此任意,我們有

由於f在(a,b)上有界，那麼設界為M，即任意,有

那麼由於,有任意,

,即g在(a,b)有界

由於任意x不在(a,b),有有理數q，使得,

即同樣有界，即g(x)在 R上有界

而若有,使得g(x)不為0，那麼必存在n，使得趨向無窮大，矛盾。

因此恆成立，即

根據連續的定義可知，任意δ,存在ε，使得,即f(x)在區間有界，化為上面的條件。

在某區間(a,b)單調，那麼任意

其中,將q1,q2逼近x，不難說明

而任意,存在q，使得

同理可知成立。

保號是指：存在,使得,有,或者存在,使得,有。

根據對稱性我們只需證明"存在,使得,有"的情況。

任意,存在n,使得,那麼利用

即可得f(x)單調，化為上麵條件。

以下的證明將顯示“其他的解”(若存在)是相當病態(pathological)的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖在 中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

詳情見右圖

要構造出反例，必須承認選擇公理或 Zorn引理，從而當我們把看成是上的線性空間時，它允許我們選出無窮多個元素作為基底，使得每個實數都能寫成以有理數為係數的有限個基底的線性組合，稱為哈默基(Hamel Basis)。

詳情見右圖