有界函數
有界函數
有界函數是設f(x)是區間E上的函數，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函數。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。
有界函數並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。
設ƒ(x)是區間E上的函數。若對於任意屬於E的x，存在常數，使得，則稱ƒ(X)是區間E上的有界函數。
正弦函數 和餘弦函數為R上的有界函數，因為對於每個都有和
下面介紹與有界函數概念相關的幾個概念。
設函數f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切都有不等式的則稱函數f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函數f(x)在A上無界 設f為定義在D上的函數，若存在數M（L），使得對每一個有：
則稱ƒ在D上有上（下）界的函數，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。
根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。
一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。所以，一個數列() 是有界的，如果存在一個數，使得對於所有的自然數n，都有：。
由所定義的函數f:是有界的。如果正弦函數是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。函數（x不等於-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。但是，如果把函數的定義域限制為.，則函數就是有界的。
函數是有界的。
函數的有界性與其他函數性質之間的關係
函數的性質：有界性，單調性，周期性，連續性，可積性。
閉區間上的單調函數必有界。其逆命題不成立。
閉區間上的連續函數必有界。其逆命題不成立。
閉區間上的可積函數必有界。其逆命題不成立。
類似的我們可以定義無界函數: 設ƒ為定義在D上的函數，若對於任何M（無論M多大），都存在，使得。相關詳細定義請查看百度百科無界函數
基本信息
- 所屬學科
- 數學
- 性質
- 有界性
- 對應概念
- 無界函數