積空間

積空間

積空間(英文名稱product space),拓撲學和數學的相關領域中,積空間是指一族拓撲空間的卡積,並配備了一個稱為積拓撲的自然的拓撲結構。

正文


拓撲學和數學的相關領域中,積空間是指一族拓撲空間的卡積,並配備了一個稱為積拓撲的自然的拓撲結構。

定義


令I為(可能無窮的)指標集並設Xi對於每個I中的i為一個拓撲空間。置X = Π Xi,也即集合Xi的卡積。對於每個I中的i,我們有一個標準投影pi : X → Xi。X上的積拓撲定義為所有投影pi在該拓撲下連續的最疏拓撲(也就是開集最少的拓撲)。該乘積拓撲有時也稱為吉洪諾夫拓撲。
很明顯,X上的乘積拓撲可以表述為形為pi(U)的集合生成的拓撲,其中i屬於I而U是Xi的一個開集。換句話說,集合{pi(U)}構成X上的拓撲的子基。X的子集是開的當且僅當它是(可能無窮多的)的有限個形為pi(U)的集合的交集的並集。pi(U)有時稱為開柱,而它們的交集稱為柱集。
我們可以用構成X的空間Xi的基來表述乘積拓撲的基。設對於每個i屬於I,選取一個集合Yi或者是整空間Xi或者是該空間的一個基,並且滿足Xi = Yi對於除了有限個I中的i之外的所有i成立。令B為集合Yi的卡積。所有可以這樣構造的B集合的族構成乘積空間的一個基。這意味著有限多空間的乘積有一個由Xi的基元素的乘積組成的基。
如果指標集為有限(特別是,對於兩個拓撲空間的乘積),則積拓撲有更簡單的表述。這個情況下,每個Xi的拓撲的乘積構成X上的拓撲的一個基。一般來講,Xi的拓撲的乘積構成一個稱為X上的盒拓撲的基。一般情況下,盒拓撲比積拓撲更細,但是對於有限乘積,它們是相同的。

例子


從實直線R上的標準拓撲開始,定義n份R的乘積,就得到普通的R上的歐幾里得拓撲。
康托爾集同胚於可數個離散空間{0,1}的乘積而無理數的空間同胚於可數個自然數集的乘積,每個集合也是採用離散拓撲。

屬性


乘積空間X加上標準投影,可以用如下的泛性質來刻劃:若Y是拓撲空間,並且對於每個I中的i,fi : Y → Xi是一個連續映射,則存在恰好一個連續映射f : Y → X滿足對於每個I中的i如下交換圖成立:
這表明乘積空間是拓撲空間範疇中的積。從上述范性質可以得出映射f : Y → X連續當且僅當fi = pi o f對於所有I中的i連續。在很多情況下,檢查分量函數fi的連續性更為方便。檢驗映射g : X→ Z是否連續通常更難;可以試著用某種方式利用pi連續這一點。
除了連續,標準投影pi : X → Xi也是開映射。這表示每個積空間的開子集投影到Xi上還是開集。反過來不真:若W是到所有Xi的投影都是開集的積空間的子空間,則W不一定是X中的開集。(例如,W = R \ (0,1).)標準投影通常不是閉映射。
積拓撲有時稱為點式收斂拓撲,因為:X上的一個序列(或者網)收斂當且僅當它所有到當且僅當所有Xi收斂。特別是,如果考慮所有在空間X = R對於所有I上的實值函數,在積拓撲上的收斂就是函數的點式收斂。
積拓撲的一個重要定理就是吉洪諾夫定理:任何緊緻空間的乘積是緊緻的。對於有限乘積很容易看出,而其一般情況等價於選擇公理。

和其它拓撲概念的聯繫


可分離性 每個T0空間的積是T0的。每個T1空間的積是T1的。每個豪斯多夫空間的積是豪斯多夫的。每個正則空間的積是正則的。每個吉洪諾夫空間的積是吉洪諾夫空間。正規空間的積不一定是正規的。緊緻性 每個緊緻空間的積是緊緻的(吉洪諾夫定理)局部緊緻空間的積不一定是局部緊緻的。連通性 每個連通(路徑-連通)空間是連通的(路徑-連通的)。每個遺傳性不連通空間的積是遺傳性不連通的。每個"局部看起來"一個標準投影F × U → U的空間稱為纖維叢。