等腰三角形

至少有兩邊相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。

1.等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡寫成“等腰三角形三線合一”）。

3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半。

6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等於一腰上的高（需用等面積法證明）。

7.一般的等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。但等邊三角形（特殊的等腰三角形）有三條對稱軸。每個角的角平分線所在的直線，三條中線所在的直線，和高所在的直線就是等邊三角形的對稱軸。

8.等腰三角形中腰長的平方等於底邊上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

9.等腰三角形的腰與它的高的關係：腰大於高；腰的平方等於高的平方加底的一半的平方。

定義法：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：在同一三角形中，如果兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。

除了以上兩種基本方法以外，還有如下判定的方式：

● ● 在一個三角形中，如果一個角的平分線與該角對邊上的中線重合，那麼這個三角形是等腰三角形，且該角為頂角。

● ● 在一個三角形中，如果一個角的平分線與該角對邊上的高重合，那麼這個三角形是等腰三角形，且該角為頂角。

● ● 在一個三角形中，如果一條邊上的中線與該邊上的高重合，那麼這個三角形是等腰三角形，且該邊為底邊。顯然，以上三條定理是“三線合一”的逆定理。

● ● 有兩條角平分線（或中線，或高）相等的三角形是等腰三角形。

等腰直角三角形

1、定義

有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。

2、關係

3、四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。

（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等。

（2）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。

（3）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的兩倍。

（4）三角形的三條高或它們的延長線的交點叫做三角形的垂心。

（5）三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。

（6）三角形斜邊上的高等於斜邊的一半。

備註：

①三角形的內心、重心都在三角形的內部 .

②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點）。

④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。

等邊三角形

1、定義

所謂的等邊三角形，是三邊都相等的等腰三角形。

2、性質

（1）每個角都為60°，三角形三內角和等於180°。

（2）三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。

（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。

（4）三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊。

有關問題的證明

已知：△ABC中，，且，

求證：當三角形的周長最短時，三角形是等邊三角形。

證明：

根據餘弦定理

所以當時，最小

這時，周長為最短

所以當周長最短時的三角形是正三角形。