等比中項
數學術語之一
數列問題中的特殊性質，如果在等比數列a項和b項中，插入一個數G使a、G、b成等比數列，那麼G叫做a、b的等比中項。如果G是a與b的等比中項，則有G/a=b/G。
在解決一些數學問題時，如果發現其中存在類似等比中項的特徵，不妨巧設公比，利用q的橋樑作用解題，不僅思路新穎而且過程簡捷，從而為問題的解決提供了一種新的方法。
一般地，如果一個數列的首項不為0，且從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，那麼這個數列就叫做 等比數列，這個常數叫做等比數列的 公比，公比通常用字母q表示( q不等於0）。如數列2，4，8，16就為等比數列。
在等比數列a項和b項中，插入一個數G使a、G、b成等比數列，那麼G叫做a、b的等比中項。
若a和b的等比中項為c，則c的平方等於a和b的乘積。
若a，b，c成等比數列，則有
由 ，可知 成立。
還可由 ，得 。
此結論說明，在等比數列中，從第二項起，每一項（有限數列末項除外）都是它前後兩項的等比中項。
同樣可證得 成立。
此結論說明，在等比數列中，任取數列中的某項都是與它前後等距離的兩項的等比中項（保證前後兩項都存在）。
同號的兩個數才有等比中項；等比中項有兩個，且互為相反數。
在等比數列中，若,m與p,，則 ，可以理解為，是與的等比中項。
在解決一些數學問題時，如果發現其中存在特徵 ，我們不妨聯想到等比中項的知識，巧設公比，利用q的橋樑作用解題，不僅思路新穎而且過程簡捷，從而為問題的解決提供了一種新的方法。
（1）等比數列4，9求該數列等比中項
解：設給數列等比數列為C 則
（2）在三角函數的應用：
已知 ，且a為第三象限角，求 。
因為 ，所以 。
設 ， 。
所以，
又位於第三象限，所以 ， 。
（3）在解方程的應用
已知x，y，z屬於正實數集，且 ，
求證：
由 知 ， 所以 等比數列。
設 ，
得
所以 。
基本信息
- 中文名
- 等比中項
- 外文名
- geometric mean
- 類型
- 數學術語
- 特點
- 同號的兩個數才有等比中項
- 二級學科
- 數學
- 一級學科
- 數理科學