瑞利－里茲法
瑞利-里茲法
也稱為里茲法，是通過泛函駐值條件求未知函數的一種近似方法。英國的瑞利於1877年在《聲學理論》一書中首先採用，後由瑞士的W.里茲於1908年作為一個有效方法提出。這一方法在許多力學、物理學、量子化學問題中得到應用。
同時它也是廣泛應用於應用數學和機械工程領域的經典數值方法，它可以用來計算結構的低階自然頻率。它是直接變分法的一種，以最小勢能原理為理論基礎。通過選擇一個試函數來逼近問題的精確解，將試函數代入某個科學問題的泛函中，然後對泛函求駐值，以確定試函數中的待定參數，從而獲得問題的近似解。
假待求函為n個已知函數的線性組合：
式為未知常係數。通過由組成的泛函嗘取駐值的條件(駐值條件對應於已知的物理定律或定理)得到n個方程，
未系，從而得到。這一理論還可推廣到多維問題。
在求解彈性體位移時，先假定彈性體內沿方向的位移分別由一系列已知的滿足彈性體全部位移邊界條件的連續函數疊加而成，即
式中為待求係數，共3n個。將代入作為泛函的總勢能Π的表達式，根據彈性學最小勢能原理，總勢能變分為零，即有駐值條件：
這是關於3n個待求係數的3n個代數方程。解出3n個未知係數便得到全部位移。通過對位移進行微商並利用應力-應變關係就得到應力。由於瑞利-里茲法假設的位移函數可以不滿足力的邊界條件，所以位移函數的構成比較容易，計算也比較方便，但有時求出的應力誤差較大。
在振動問題中，如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合，而以瑞利商（見瑞利原理）作為位移的泛函，則利用瑞利商取駐值時條件，就可求出物體振動的固有頻率的近似值。
在機械工程領域，它被用於計算多自由度系統（如彈簧-質量系統、變截面軸上的飛輪）大致的共振頻率；還可以計算圓柱體的折斷載荷。瑞利-里茲法是瑞利法的擴展。
以下的討論舉一個最簡單的例子（2個集中彈簧和2個集中質量，並只考慮2個模態振型）。因此
為該系統假設一個由兩項組成的模態振型，其中一個用因數B加權。例如
簡諧運動理論認為撓度等於0時的速率為角頻率ω乘以最大撓度(y)。本例中，每個質量的動能(KE)等於
等等，而每個彈簧的勢能(PE)等於等等。對於連續系統，該表達式要麻煩得多。
因為引入了無阻尼假設，因此整個系統當時的KE等於時的PE。由於不存在阻尼，系統各點同時達到的狀態。
因此，由得：
注意模態振型的實際振幅總會從兩邊消去。也就是說，假設撓度的真正數值並不重要。我們在意的是振型。
由於ω與B有關，為了找到最小的ω，我們令。此時的B的取值可以使得ω最小。由於振型是假設的，通過該方法得到的ω是需要預測的基頻的上界。我們需要得到的是這個上界的最小值。
該方法有很多技巧，最重要的是試圖找到盡量真實的假設陣型。例如在梁的撓曲問題中，使用一個盡量接近真實的變形模態是明智的。對於大部分簡單的梁連接問題，即使振型的階次很低，一個四次的函數就足夠了。彈簧和質量並不必離散，它們可以使連續的或者是雜糅的。只要能夠描述分散式的KE和PE，或把連續的單元離散，該方法可以很容易編程來找到複雜分散式系統的自然頻率。
該方法可以反覆迭代使用，把附加的模態振型疊加到先前的最佳解上。也可以建立一個用許多參數B和振型組合的長表達式，最後對它們求偏導。
里茲法本質是基於最小能量原理的，而伽遼金是一種加權余量法，只是當我們取權函數為形函數時（權函數可以很多取法，比如最小二乘什麼之類的），這個時候兩者是等效的。
所以兩者雖然在某個特定的條件是等效的（注意一般是用“等效”，而少用相同），但是本質是思路是不同的。