下降法

設給出方程組 ，其中，令

則 的充分必要條件是 若φ(x) 的極小點使，則也是方程組 的解。只要構造迭代序列 使

且滿足就可求得方程組的足夠好的近似解。

具體做法是選初始近似，沿一個使φ(x) 下降的方向，令 然後選步長因子，使，得一般情況是從 出發，沿φ(x) 下降方向 求出

且 直到為止， 就作為方程組解的近似，上述演演算法中也可選 使

這是一個求一維的極小問題。以上演演算法即為下降法。如果選擇不同，就可得到不同的下降法，特別地，若選 為 φ 的負梯度，即則得梯度演演算法

其中此演演算法也成最速下降法，此法的優點是計算量少，程序簡單，但收斂慢。在下降法中可去下降方向為牛頓方向，即特別地，當 時，就得到牛頓法，此外還可取沿坐標方向下降的方法，實際上就是一步的 SOR 牛頓法。

另一類較重要的下降法為共軛梯度法。共軛梯度法是最簡單的下降法，早在 1847 年就由法國數學家、力學家柯西 (Cauchy,A.-L.)提出，以後坦普爾 (Temple,G.)、柯里 (Curry,H.) 等人也進行過研究並證明了方法的收斂性。20世紀50至60年代，又有不少學者對下降法做了很多研究，提出不少具體演演算法並建立了收斂性理論，使這類演演算法在解非線性方程組和最優化計算中得到廣泛應用。