應用隨機過程

本書主要討論隨機過程的基礎理論和應用方法。全書共七章，內容包括：概率論基礎，隨機過程基礎，泊松過程及其推廣，馬爾可夫過程，二階矩過程及其均方分析，平穩過程，以及高階統計量與非平穩過程等。

本書強調隨機過程的基礎理論、物理意義與應用方法，注重理論聯繫實際，力求從概念的物理背景、理論的邏輯推導與應用的典型例子三個方面加以闡述。內容全面，敘述清楚，例題與圖示豐富，便於教學與自學。

第1章 概率論基礎（1）

1.1 概率空間（1）

1.1.1 概率（1）

1.1.2 條件概率與獨立性（3）

1.2 隨機變數與典型分佈（5）

1.2.1 隨機變數（5）

1.2.2 典型分佈（7）

1.2.3 多維隨機變數（9）

1.2.4 條件隨機變數（10）

1.2.5 獨立性（11）

1.3 隨機變數的函數（13）

1.3.1 一元函數（13）

1.3.2 二元函數（13）

1.4 數字特徵（16）

1.4.1 黎曼-斯蒂階積分（16）

1.4.2 數學期望（或統計平均） （17）

1.4.3 矩與聯合矩（17）

1.5 條件數學期望（19）

1.5.1 基本概念（19）

1.5.2 主要性質（21）

1.6 特徵函數、矩母函數與概率母函數（23）

1.6.1 特徵函數（23）

1.6.2 矩母函數與概率母函數（26）

1.6.3 其他常用變換（27）

1.7 隨機收斂性與極限定理（28）

1.7.1 隨機變數序列的收斂性（28）

1.7.2 收斂定理（29）

1.7.3 大數定律（30）

1.7.4 中心極限定理（31）

習題（32）

第2章 隨機過程基礎（35）

2.1 定義與基本特性（35）

2.1.1 概念（35）

2.1.2 基本特性（35）

2.1.3 舉例（37）

2.1.4 分類（40）

2.2 平穩性與平穩過程（40）

2.2.1 嚴格與廣義平穩過程（40）

2.2.2 平穩過程的相關函數（41）

2.3 獨立過程與白雜訊過程（42）

2.4 高斯過程（43）

2.4.1 高斯分佈（44）

2.4.2 高斯隨機變數的性質（45）

2.4.3 高斯隨機過程（47）

2.5 獨立增量過程（49）

2.5.1 基本概念（49）

2.5.2 基本性質（50）

2.5.3 平穩獨立增量過程（50）

2.6 布朗運動（53）

2.6.1 布朗運動的背景與定義（53）

2.6.2 基本性質（54）

2.6.3 首達與過零點問題（55）

2.6.4 布朗橋（57）

習題（57）

第3章 泊松過程及其推廣（60）

3.1 定義與背景（60）

3.2 泊松事件到達時間與時間間隔（62）

3.2.1 基本概念（62）

3.2.2 基本性質（63）

3.2.3 指數流（64）

3.2.4 指數隨機變數的一些性質（65）

3.3 到達時間的條件分佈（66）

3.4 過濾泊松過程（68）

3.4.1 基本概念與性質（68）

3.4.2 泊松衝激序列（70）

3.5 複合泊松過程（70）

3.6 非齊次與條件泊松過程（71）

3.7 更新過程（73）

3.7.1 定義與更新函數（73）

3.7.2 剩餘壽命與年齡（75）

3.7.3 若干極限定理（75）

習題（76）

第4章 馬爾可夫過程（79）

4.1 基本概念與舉例（79）

4.1.1 定義（79）

4.1.2 轉移概率、C-K方程與概率分佈（80）

4.1.3 齊次馬爾可夫鏈（82）

4.1.4 舉例（83）

4.2 狀態分類（87）

4.2.1 可達與首達（87）

4.2.2 常返態與非常返態（89）

4.2.3 正常返性與周期性（90）

4.3 狀態空間分解（91）

4.3.1 等價類（91）

4.3.2 狀態閉集與空間分解（92）

4.4 遍歷性、極限分佈與平穩分佈（93）

4.4.1 遍歷性與基本極限定理（93）

4.4.2 平穩分佈（95）

4.4.3 有限狀態鏈的遍歷性（95）

4.5 隱馬爾可夫鏈（96）

4.5.1 基本概念（96）

4.5.2 最大后驗概率（MAP）估計方法（97）

4.6 連續參數馬爾可夫鏈及其基本性質（99）

4.6.1 定義（99）

4.6.2 基本性質（100）

4.6.3 Q矩陣（100）

4.6.4 向前向後微分方程（102）

4.7 生滅過程（103）

4.8 排隊論及其應用簡介（106）

4.8.1 排隊系統（106）

4.8.2 馬爾可夫隊列及其舉例（107）

習題（110）

第5章 二階矩過程及其均方分析（114）

5.1 二階矩隨機變數空間與均方極限（114）

5.1.1 二階矩過程（114）

5.1.2 二階矩隨機變數空間（114）

5.1.3 隨機序列的均方極限（116）

5.1.4 隨機過程的均方極限（117）

5.2 均方連續（118）

5.3 均方導數（119）

5.3.1 定義與可導準則（119）

5.3.2 基本性質（119）

5.4 均方積分（121）

5.4.1 定義與可積準則（121）

5.4.2 基本性質（122）

5.4.3 黎曼-斯蒂階均方積分與伊藤積分（124）

5.5 平穩過程的均方導數與積分（125）

5.6 高斯過程的導過程與積分過程（126）

5.7 隨機常微分方程（128）

5.7.1 基本概念（128）

5.7.2 簡單線性常微分方程的解（129）

5.7.3 計算解的均值與相關函數（130）

習題（131）

第6章 平穩過程（133）

6.1 各態歷經性（遍歷性） （133）

6.1.1 基本概念（133）

6.1.2 各態歷經性定理（134）

6.1.3 均值、方差與相關函數的估計方法（137）

6.2 功率譜密度（137）

6.2.1 功率譜密度（138）

6.2.2 相關函數的譜分解定理（141）

6.2.3 平穩白雜訊（141）

6.3 具有隨機輸入的線性時不變系統（142）

6.3.1 系統的輸出過程（143）

6.3.2 輸出過程的均值與相關函數（143）

6.3.3 輸入為平穩過程的情形（144）

6.3.4 輸出中的瞬態部分（146）

6.4 調製與帶通過程（147）

6.4.1 希爾伯特變換與解析過程（147）

6.4.2 調製過程（149）

6.4.3 複數表示法、相關函數與功率譜（149）

6.4.4 帶通調製過程（151）

6.5 AR、MA和ARMA過程（154）

6.5.1 具有隨機輸入的離散LTI系統（154）

6.5.2 白雜訊通過離散LTI系統（155）

6.5.3 AR過程（156）

6.5.4 MA過程（157）

6.5.5 ARMA過程（158）

6.6 傅里葉級數、隨機譜分解與採樣定理（158）

6.6.1 傅里葉級數（159）

6.6.2 隨機譜分解（159）

6.6.3 帶限過程與採樣定理（161）

習題（162）

第7章 高階統計量與非平穩過程（165）

7.1 高階統計量（165）

7.1.1 高階矩及高階累積量定義（165）

7.1.2 高階矩與高階累積量的關係（166）

7.1.3 高階累積量的性質（167）

7.1.4 高斯隨機變數的高階統計特性（169）

7.1.5 高階譜（169）

7.1.6 隨機過程通過線性時不變系統（170）

7.2 循環平穩過程（170）

7.2.1 嚴循環平穩過程與寬循環平穩過程（170）

7.2.2 循環相關函數與譜相關密度函數（171）

7.2.3 循環矩與循環累積量（172）

7.2.4 循環矩譜與循環累積量譜（173）

7.3 時頻分析（173）

7.3.1 不確定性原理（173）

7.3.2 短時Fourier變換（174）

7.3.3 Wigner-Ville分佈（175）

7.3.4 連續小波變換（177）

習題（180）

附錄A 典型分佈及其主要特性列表（181）

參考文獻