概率分佈函數
概率論的基本概念之一
概率分佈函數是概率論的基本概念之一。在實際問題中,常常要研究一個隨機變數ξ取值小於某一數值x的概率,這概率是x的函數,稱這種函數為隨機變數ξ的分佈函數,簡稱分佈函數,記作F(x),即F(x)=P(ξ
概率布函描述隨量取值布規律示。,件的概率當然是一個x的函數。令,顯然有,稱F(x)為隨機變數X的分佈函數。所以,分佈函數F(x)完全決定了事件的概率,或者說分佈函數F(x)完整地描述了隨機變數X的統計特性。
離散型隨量,設 為變數X的取值,而 為對應上述取值的概率,則離散型隨機變數X的概率分佈為
且概率 應滿足條。因此,離散型隨機變數X的概率分佈函數為
對於連續型隨機變數,設變數X取值於區間(a,b),並假設其分佈函數F(x)為單調增函數,且在 間可微分及其導數F’(x)在此區間連續,則變數X落在x至 區間內的概率為
為描述其概率分佈規律,這時不可能用分佈列表示,而是引入“概率分佈密度函數”的新概念。定義概率分佈函數F(x)的導數F’(x)為概率分佈密度函數f(x),即
於是連續型隨機變數X的概率分佈函數可寫為常用的概率積分公式的形式:
這樣,只要已知某一連續型隨機變數X的概率分佈密度函數f(x),即可求得X落在某一區間 內的概率:
與離散型隨機變數的概率函數一樣.對於分佈密度函數,有
連續型隨機變數的分佈密度函數 .以及與它對應的分佈函數F(x)的圖形分別如圖1和圖2所示。有時稱f(x)的圖形為分佈曲線,而稱F(x)的圖形為累積分佈曲線。
分佈函數F(x)是一個普通函數。正是通過它才能用數學分析的方法來研究隨機變數。如果將X看成是數軸上隨機點的坐標,那麼分佈函數F(x)在x處的函數值就表示X落在區間 的概率。
分佈函數F(x)具有下述基本性質:
①F(x)為單凋非降函數:
② 左連續;
③ 。
綜上所述,概率分佈函數是隨機變數特性的表徵,它決定了隨機變數取值的分佈規律,只要已知了概率分佈函數,就可以算出隨機變數落於某處的概率。