共形映射

又稱保角映射，複變函數論的一個分支。它是從幾何的觀點來研究複變函數。若解析函數w＝ƒ(z)在域D中單葉(見單葉函數),且將D 映為域墹 ,則在D 中的(有限)點z處，ƒ′(z)≠0，在D中任取一點z0 ,Cz為過z0的在D 內的任一簡單光滑曲線:z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤b),其中x(t)及y(t)是z(t)的實部與虛部。設z(t0)=z0(α≤t0≤b), 曲線 Cz在 z=z0的切線與實軸的夾角是 z′(t0)的幅角Argz′(t0)。w =ƒ(z)將Cz映為 墹 中過w 0=ƒ(z0)的一條簡單光滑曲線Cw：w =ƒ(z(t))(α≤t≤b)。由於Cw在w0的切線與實軸的夾角是

。

所以Cw在w0處切線與實軸的夾角同Cz在z0處的切線與實軸的夾角相差Argƒ′(z0)。這個值與曲線Cz的形狀及方向無關。因此，若在D中一點z0,過z0點有D中的二條光滑曲線及則這二條曲線在z0的交角，即這二條曲線在z0點的切線的夾角為。w=ƒ(z)將C,C嶤分別映為墹中的二條光滑曲線C,C。則C與C之間的夾角為· 。也就是，用單葉解析函數w=ƒ(z)作映射時，曲線間的夾角的大小及方向保持不變，所以稱w =ƒ(z)為保角變換或保角映射。由於，故當|z-z0|充分小時,|ƒ(z)-ƒ(z0)|還近似地等於｜ƒ′(z0)||z-z0|，即經過w =ƒ(z), |z-z0| 近似地伸縮了|ƒ′(z0)|倍。這個數與向量z-z0的方向無關，故稱｜ƒ′(z0)｜為在點z0的伸縮率，於是在D 中一點z0一個領域內的任一小三角形，經w =ƒ(z)映射后，映為Δ中含w0=ƒ(z0)的一個鄰域內的一個曲邊三角形，這兩三角形對應角相等，對應邊近似地成比例，因此這兩個三角形近似地是相似形。因此，稱w =ƒ(z)的映射為共形映射，或保形映射，即在一點的附近,w =ƒ(z)幾乎保持了幾何的形狀。

共形映射有廣泛的應用。應用它可以成功地解決流體力學與空氣動力學，彈性理論以及場論等很多方面的許多實際問題。例如H.E.茹科夫斯基應用著名的茹科夫斯基函數作為出發點，來研究各種飛機機翼截面，是很有成效的。

共形映射理論中最基本的定理是黎曼映射定理：至少有兩個邊界點的任意單連通區域一定可以共形映射到單位圓的內部。如果對域中指定一點z0要求將z0映為0，且 Argƒ′(z0)等於已給的θ0,那麼這樣的映射是惟一的，這是黎曼於1851年證明的，當時的證明略有不足之處，經後人補充完整，對於多連通區域也有相應的定理，但要求多連通區域的模相同。當兩個多連通域的模相同時，才有亞純函數存在，使它們相互共形映射。

將單位圓映為單位圓的共形映射為 ,這裡。所有這些映射的全體組成一個群，稱為麥比烏斯變換群。將上半平面Im z >0 映為上半平面Imw>0的映射為，其中α,b,с,d為實數,αd -bс≥0，將上半平面Im z>0映為單位圓|w|<1 的映射為，其中Imz0>0,|ε|=1。另外一個有用的映射公式是施瓦茲-克里斯托費爾公式，是由 H.A.施瓦茲和E.B.克里斯托費爾於19世紀60年代開始研究的，討論將單位圓內部到上半平面內部共形映射到多邊形內部的解析函數。若P為w平面上的多邊形，頂點為bμ(μ =1,2,…,m)，bμ的內角為αμπ,則w =ƒ(x)將單位圓或上半平面映為P的內部的公式為

這裡

,

с,с┡為依賴於P 的位置、大小的常數。對於多連通區域也有相應的施瓦茲－克里斯托費爾變換公式。

參考書目

C .Carathéodory,ConforMal Representation,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1932.

S.Bergman，The Kernal Function and ConforMalMapping，Amer. Math.Soc.Math.Surveys，Providence,1950.

Z.Nehari，ConforMal Mapping，McGraw-Hill，NewYork,1952.