正則函數

正則函數亦稱全純函數或解析函數，是解析函數論的主要研究對象，對於定義於複平面上區域 內的復變數z的單值函數，如果它在D內的每個點 的一個鄰域內都可以用 的冪級數表示，則稱 在D內解析，外爾斯特拉斯(K.(T.W.)Weierstrass)從冪級數出發，建立了解析函數的級數理論，如果在 內的每個點z處，極限

(稱為函數 在z點的導數)都存在，柯西(A.-L.Cauchy)稱在D內是解析的，這兩個定義是等價的。函數 在D內解析的另一個等價條件是：在 內的每一個點 處存在連續偏導數，並且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件)：

這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件，函數f(z)在區域D內解析的第四個等價條件是莫雷拉定理。

性質1函數 在域D內每一點具有導數，而且導數 在D內為連續。

性質2 在域D中，函數 的實部 (於此， )，)和虛部 具有一次連續偏導數

它們在D內滿足恆等條件

性質3這項性質預先假定了函數 在域D內為連續；下面，我們把它用兩種不同方式( 和 )敘述出來，這兩種方式等價。

：無論對於域D內的任何兩點 和b，沿D內從 到b所引的(有限長)曲線C所取的積分 與積分的路徑無關，而僅與函數 和始點a及終點b有關；

：對於域D內的任何(有限長)閉曲線，沿這曲線所取的積分 等於0。

性質4 對於域D內的任何一點a，函數 在點a可展成一冪級數。詳言之：對於域D內的任何一點a，存在一列係數 (與a有關)，使得級數

在某一圓 (圓的半徑R與a有關)內收斂，且其和等於。

性質5 函數 在域內每一點具有導數。

對於與柯西同時的人黎曼(B.Riemann，1826一1866)來說(他與柯西無關地在德國奠定了複變函數論的基礎)，出發點就是關係

這在後來通行叫作“柯西一黎曼條件”(或歐拉一達朗貝爾條件)。

對於比較靠近20世紀的德國學者魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1855--1897)來說(他除了幾個其他的數學科目之外，並對複變函數論建立起堅實的基礎)，出發點是可以展開成冪級數這種性質(性質4)。

最後，從近代的數學方法論的觀點來看，在建立複變函數論的時候，採用解析函數的積分性質(性質3)可能有很大的優越性，這是因為在很快得出柯西積分之後，就可以從它進而導出可微分性，以及可以展成冪級數性等。