保角映射

設f(z)是區域D到G的雙射（既是單射又是滿射），且在D內的每一點都具有保角性質，則稱f(z)是區域D到G的保角映射，也稱為保角變換或者共形映射。凡具有保角性和伸縮率不變性 的映射稱 定義 為保角映射或第一類保角映射。若函數w=f (z)在區域D內(任一點z0處) 定理 1 解析, 且f ‘(z0)≠0, 則w=f (z)所實現的映射在區域 D內是一個保角映射。若僅保持夾角大小不變，但方向相反，則該 保角映射稱為第二類保角映射。例如 w = z 是第二類保形映射。 w=f(z) 三、關於保角映射的幾個一般性若函數w=f(z)把區域D保角地、一一對應 地映射成區域G，則w=f(z)在D上是單值且解析的 函數，其導數在D上必不為零，且其反函數 z=g(w) 在G上也是單值且解析的函數，它把G保 角地、一一對應地映射成D 。定理1 一個單值且解析的函數可以 定實現一一對應的保角映射 實際應用中 求一個解析 函數w=f(z) w=f(z) 保角映射 ? 這樣的保 角映射存 在嗎

黎曼定理

設有兩個單連通區域D和G,z0和 w0分別是D和G中的任意兩點，θ 0 是任一實數 (0 ≤ θ 0 ≤ 2π ) ，則總存在一個函數w=f (z)，它把D一一對應地保角 映射成G，使得 f ( z0 ) = ω0 , arg f ′( z0 ) = θ 0 , 並且這樣的保角映射是唯一的。

如果對於區域D內任意一點，存在一個鄰域使f(z)在這個鄰域內映射是保角的，則稱f(z)是D內的局部保角映射。

（1）判別一個映射，是否是保角映射．

（2）已知映射及一個區域，求像區域．

（3）已知兩個區域，求映射．

以上（2），（3）題目較為靈活．故必須熟練掌握各種基本映射（整式線性映射、冪函數映射、指數函數映射等）的特點及一些基本區域之間的映射（或變換）．

保角映射、分離變數法(常數變易法)、行波法和積分變換法（達朗貝爾）

保角映射又稱保角變換conformal mapping

設w=u＋iV及z=x+iy分別是兩個複平面上的點，複函數w=f（z）確定了這兩個複平面之間的一個映射，當w=f(z)）是一個目數不為零的解析函數時，所對應的映射稱為保角映射。

保角映射

這種映射必定是一對一的，且具有：（l）伸縮率的不變性，即在某一點Z0上沿不同的方向的曲線微元ds與映射后所得的象ds′的比值都是f′（z0）；（2）旋轉角的不變性並且保持角的定向，即若把z平面與w平面迭放在一起，且使ZO與W0=f（z0）重合，則過Z0的任一條曲線C到它的象C′的轉角為定值。如果X軸與U軸及y軸與V軸方向相同，這個轉角就是Argf’（z0），因此交手Z0的任意兩條曲線C1，C2的夾角與它們的象C1，C2的夾角相等且轉向不變。

（conformal transformation method）

保角變換是利用復變數解析函數實部和虛部都滿足拉普拉斯（Laplace）方程的特點，及通過複平面變換以簡化求解二維拉普拉斯方程邊值問題的一種方法。由於在沒有電荷分佈的空間中靜電勢滿足拉普拉斯方程，故此法可用來求解二維的靜電勢問題。

通過一適當的解析複變函數f(z)，將復變數平面z=x+iy變換成另一復變數平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)將z平面上位形複雜的邊值問題，變換至z′平面上位形簡單的相應邊值問題，以便容易求出靜電勢的解φ′(x′,y′)。由此在z′平面中構成解析的複變函數W′(z′)=φ′+iΨ′。最後再由z′平面換回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，從而得到欲求的二維拉普拉斯方程邊值問題的解。

由於通過解析函數變換時，分別在二複平面中任意二曲線元之間的夾角不變，故此種變換稱為保角變換。

英文術語名：conformal transformation

【保角映射的定義】

設f(z)是區域D到G的雙射（既是單射又是滿射），且在D內的每一點都具有保角性質，則稱f(z)是區域D到G的保角映射，也稱為保角變換或者共形映射。

【局部保角映射】

如果對於區域D內任意一點，存在一個鄰域使f(z)在這個鄰域內映射是保角的，則稱f(z)是D內的局部保角映射。

【保角映射的一些定理】

（1）函數f(z)是區域D內的局部保角映射，當且僅當f(z)在D內解析，且f'(z)不等於0.

（2）設f(z)是區域D內的解析單射，則對於任意z屬於D,f'(z)不等於0.

【保角映射的主要題型】

（1）判別一個映射，是否是保角映射．

（2）已知映射及一個區域，求像區域．

（3）已知兩個區域，求映射．

以上（2），（3）題目較為靈活．故必須熟練掌握各種基本映射（整式線性映射、冪函數映射、指數函數映射等）的特點及一些基本區域之間的映射（或變換）．