成本函數
成本函數
成本函數（cost function）指在技術水平和要素價格不變的條件下，成本與產出之間的相互關係。成本理論主要分析成本函數。成本函數和成本方程不同，成本函數說的是成本和產量之間的關係，成本方程說的是成本等於投入要素價格的總和，如果投入的是勞動L和資本K，其價格為PL和PK，則成本方程是C=L·PL+K·PK，成本方程是一個恆等式，而成本函數則是一個變數為產量的函數式。
在統計學中，成本函數（cost function）通常被稱為損失函數（loss function）。
用表格表示長短期成本函數的基本情況：
| 長期成本函數 | 短期成本函數 | |
| 模型 | MINC=（W1X1+W2X2） s.t.f(X1，X2)=y | MINC=（W1X1+W2X2） s.t.f(X1，X2)=yX2=X2 |
| 外生變數 | W1，W2，Y | W1，W2，Y，X |
| 內生變數 | X1*，X2*，c* | X1*，c* |
| 條件要素需求函數 | X1=X1(W1，W2，Y) X2=X2(W1，W2，Y) | X1=X1(W1，W2，Y，X) X2=X2(W1，W2，Y，X) |
| 成本函數 | C(W1，W2，Y) | C(W1，W2，Y，X) |
成本函數
從模型的描述和比較W1，W2，很容易得到一些關於長期成本函數和短期成本函數的關係。
性質1：給定要素價格，對任意的產量y，和任意的固定要素量X2，一定有C(W1，W2，Y))≤C(W1，W2，Y，X)。
證明：因為短期成本函數模型相對與長期成本函數的模型，所有條件都一樣，只是增加了一條約束條件。所以短期成本函數模型中的可行域小於長期成本函數模型的可行域，從而前者的最小目標函數值不可能比後者的最小目標函數值值更小。而模型最小目標函數值正是成本函數值。
說明：這條性質說明，長期成本曲線在任意一條短期成本曲線的下方。
成本函數
證明：事實上，取*x2=x2=x2(w1，w2，y)，則從預算約束的成立，可以推知，一定有x(w1，w2，y，x)=x(w1，w2，y)，從而：C(w1，w2，y)=w1x1(w1，w2，y)+w2x2*=wx1(w，w，y，x*)+w2x2*=C(w1，w2，y，x*)。
說明：這條性質說的是，長期成本上的任意一點，都有一條短期成本線可以達到它。
性質3：給定要素價格W1，W2，對任意的產量y，由性質2知道存在某個固定要素量X2，使得C(w1，w2，y)=C(w1，w2，y，x)。那麼對於任意的y′≠y，一定有1：C(w1，w2，y′)
證明：因為在y′下，要素x1=x1(w1，w2y′)，x2=x2(w1，w2，y′)是最優選擇，所以對任意能生產出y′的其他要素組合x1′，x2′，一定有：w1x1(w1，w2，y′)+w2x2(w1，w2，y′)
成本函數
性質1，2描述的一般性曲線關係，就叫做“包絡”關係。說白了，就是包絡線在下面，包住了所有曲線，並且包絡線的每一點，要能被曲線族中的某一條曲線取到。上述是成本曲線的關係，平均成本曲線就是在所有等式、不等式兩邊同除以y，所有性質還是成立的。於是，長期平均成本一樣是短期平均成本的包絡線。
短期成本函數反映了在技術、規模、要素價格給定條件下，最低成本隨著產量變動而變動的一般規律。技術水平是通過生產函數來刻劃的。因此，成本函數和生產函數之間存在著非常密切的關係。若給定生產函數和要素價格，就可以推導出成本函數。
成本函數
長期總成本曲線的陡峭程度完全取決於生產函數和生產要素的價格。此曲線表現出這樣幾項特點：其一，成本和產量有直接關係，從上圖中可以看出曲線有正科率，它表明產量增加，總成本就會增加，說明資源是有限的。其二，LRTC曲線先以一逐漸遞減的比率，然後再以一個逐漸遞增的比率上升，從上可以看出X產量的增量是相對的，而C成本的增量先是遞減，然後是遞增，即X1X2=X2X3時，但C1C2>C2C3，相反，當X4X5=X5X6jf，C4C5>C5C6。
從短期來看，企業耗費的成本有一總值是固定的，如廠房設備折舊費等，有一部分則是變化的，如原材料、人工費等。所以，產品的短期總成本總是等於固定總成本與總變動成本之和，短期總成本曲線就是短期總成本函數的圖象表示。
下面是一個具體的例子。
成本函數
約束函數：
要素價格：
則要素邊際產量：
最低成本的要素投入組合的必要條件：
由此得到要素最佳投入比例：
分別將(3)、(4)代人生產函數(1)得：
將（5）代人約束函數(2)得：
就是（6）
（6）就是得到的成本函數。該成本函數的邊際成本和平均成本都是常數，不具有典型形態。
經濟分析中的成本曲線和生產曲線具有非常工整的對應關係：
1、總產量曲線和總成本曲線：
隨著變動要素投入量的增加，總產量先遞增地增加，然後遞減地增加。與此對應，隨著產量的增加，總成本先遞減地增加，然後遞增地增加。
2、邊際產量曲線與邊際成本曲線：
成本函數
3、平均產量曲線與平均變動成本曲線：
隨著勞動投入的增加，平均產量先提高，後下降。與此對應，隨著產量的增加，平均變動成本先下降，後上升。使平均產量最大的變動要素投入量，對應於平均變動成本最低的產量
