模糊數學模型
模糊數學模型
實際中，我們處理現實的數學模型可以分成三大類：第一類是確定性數學模型，即模型的背景具有確定性，對象之間具有必然的關係。第二類是隨機性的數學模型，即模型的背景具有隨機性和偶然性。第三類是模糊性模型，即模型的背景及關係具有模糊性。
定義 1 論域X 到 閉區間上的任意映射
都確定X 上的一個模糊集合A ，μ 叫做A 的隸屬函數，μ (x) 叫做x 對模糊集A 的隸屬度，記為：
使 的點x 稱為模糊集A 的過渡點，此點最具模糊性。
顯然，模糊集合A 完全由隸屬函數μ 來刻畫，當時，A 退化為一個普通集。
常用取大“∨”和取小“∧”運算元來定義Fuzzy 集之間的運算。
定義2 對於論域X 上的模糊集A ，B ，其隸屬函數分別為μ(x) ，μ(x) 。
A B
i) 若對任意，有 ，則稱A 包含B ，記為；
B A
ii) 若，則稱A 與B 相等，記為A B 。
定義3 對於論域X 上的模糊集A ，B ，
i) 稱Fuzzy 集 為A 與B 的並（union ）和交（intersection ），
即
他們相應的隸屬度被定義為
C D
C A B
D A B
ii) Fuzzy 集AC 為A 的補集或余集(complement)，其隸屬度
AC A
模糊數學的基本思想是隸屬度的思想。應用模糊數學方法建立數學模型的關鍵是建
立符合實際的隸屬函數。如何確定一個模糊集的隸屬函數至今還是尚未解決的問題。這
里僅僅介紹幾種常用的確定隸屬函數的方法。
模糊統計方法是一種客觀方法，主要是基於模糊統計試驗的基礎上根據隸屬度的客
觀存在性來確定的。所謂的模糊統計試驗包含以下四個要素：
i) 論域X ；
ii) X 中的一個固定元素x0 ；
*
iii) X 中一個隨機變動的集合A (普通集)；
* *
iv) X 中一個以A 作為彈性邊界的模糊集A ，對A 的變動起著制約作用。其中
* *
，或者致使x0 對A 的關係是不確定的。
假設做n 次模糊統計試驗，則可計算出
*
x A
0 ∈ 的次數
n
實際上，當n 不斷增大時，隸屬頻率趨於穩定，其頻率的穩定值稱為x0 對A 的隸屬度，
即
*
的次數
A 0
指派方法是一種主觀的方法，它主要依據人們的實踐經驗來確定某些模糊集隸屬函
數的一種方法。
如果模糊集定義在實數域R 上，則模糊集的隸屬函數稱為模糊分佈。所謂指派方
法就是根據問題的性質主觀地選用某些形式地模糊分佈，再根據實際測量數據確定其中
所包含地參數，常用的模糊分佈如表 1 所示。
實際中，根據問題對研究對象的描述來選擇適當的模糊分佈：
① 偏小型模糊分佈一般適合於描述像“小，少，淺，淡，冷，疏，青年”等偏小
的程度的模糊現象。
② 偏大型模糊分佈一般適合於描述像“大，多，深，濃，熱，密，老年”等偏大
的程度的模糊現象。
③ 中間型模糊分佈一般適合於描述像“中，適中，不太多，不太少，不太深，不
太濃，暖和，中年”等處於中間狀態的模糊現象。
但是，表 1 給出的隸屬函數都是近似的，應用時需要對實際問題進行分析，逐步修
改進行完善，最後得到近似程度更好的隸屬函數。
在實際應用中，用來確定模糊集的隸屬函數的方法示多種多樣的，主要根據問題的
實際意義來確定。譬如，在經濟管理、社會管理中，可以藉助於已有的“客觀尺度”作
為模糊集的隸屬度。下面舉例說明。
如果設論域X 表示機器設備，在X 上定義模糊集“設備完好”，則可以用“設
備完好率”作為A 的隸屬度。如果X 表示產品，在X 上定義模糊集A =“質量穩定”，
則可以用產品的“正品率”作為A 的隸屬度。如果X 表示家庭，在X 上定義模糊集A
=“家庭貧困”，則可以用“Engel 係數=食品消費/總消費”作為A 的隸屬度。
另外，對於有些模糊集而言，直接給出隸屬度有時是很困難的，但可以利用所謂的
“二元對比排序法”來確定，即首先通過兩兩比較確定兩個元素相應隸屬度的大小排出
順序，然後用數學方法加工處理得到所需的隸屬函數。
基本概念
定義 4 設論域U ，V ，乘積空間上上的一個模糊
子集R 為從集合U 到集合V 的模糊關係。如果模糊關係R 的隸屬函數為
R R
則稱隸屬度 關於模糊關係R 的相關程度。
R
這是二元模糊關係的數學定義，多元模糊關係也可以類似定義。
{ } { }
設U x ,x ,L,x ，V y ,y ,L,y ，R 為從從U 到V 的模糊關係，其
1 2 m 1 2 n
隸 屬 函 數 為 ，對 任 意 的 ，
R i j R i j ij
i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，記R (r ) ，則R 就是所謂的模糊矩陣。下面給出一
ij m×n
般的定義。
定義 5 設矩陣R (r ) ，且，則R 稱
ij m×n ij
為模糊矩陣。
特別地，如果 ，則稱R 為布爾(Bool)矩陣。
當模糊方陣R (r ) 的對角線上的元素r 都為 1 時，稱R 為模糊自反矩陣。
ij n×n ij
當 m 1 或 者 n 1 時，相 應 地 模 糊 矩 陣 為 R (r ,r ,L,r ) 或 者
1 2 n
R (r ,r ,L,r )T ，則分別稱為模糊行向量和模糊列向量。
1 2 n
模糊矩陣間的關係及並、交、余運算
定義 6 設A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩陣，
定義
i) 相等：
；
ij ij
ii) 包含：
ij ij
iii) 並：
；
ij ij m×n
iv) 交：
ij ij m×n
v) 余：
ij m×n
⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0
⎞ ⎞
模糊矩陣的合成
定義 7 設A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，稱模糊矩陣
A oB (c )
ij m×n
為A 與B 的合成，其中
{ }
cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s
⎛ 1 0.7⎞
⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟
模糊矩陣的轉置
定義 8 設A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，稱AT (aT ) 為A 的轉
ij m×n ji n×m
置矩陣，其中aT a 。
ji ij
(4) 模糊矩陣的λ−截矩陣
定義 9 設A (a ) ，對任意的λ∈[0,1] ，
i) 令
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a <λ
⎪⎩ ij
則稱Aλ (a(λ) ) 為模糊矩陣A 的λ截矩陣。
ij m×n
ii) 令
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a ≤λ
⎪⎩ ij
則稱 (λ) λ
Aλ (aij )m×n 為模糊矩陣A 的 強截矩陣。
·
顯然，對於任意的λ∈[0,1] , λ截矩陣是布爾矩陣。
⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟
模糊矩陣的一個性質
性質 設A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩陣(對角線上的元
ij m×n
素 I
rij 都為 1 的模糊矩陣)，是n 階單位矩陣，則
證：因為A (a ) 是模糊自反矩陣，即有rii 1，所以I ≤R ，又
ij m×n
{ }
即有 。