伯努利定理

可以推出一系列重要結果

根據伯努利定理可以推出一系列重要結果。例如，考慮大容器內的水在重力作用下的小孔出流問題。由伯努利定理可推出著名的托里拆利公式式中v為小孔處的流速； h為小孔到大容器內水面的距離。可見，小孔處水的流速和質點從液面自由下落到達小孔時的速度相同。又如速度和壓力分別為和的均勻來流繞某物體流動。流體受阻后在前緣駐點處滯止為零。由伯努利定理推出，駐點處的壓力為：

即總壓剛好等於靜壓 和動壓之和。此外，應用伯努利定理還可以闡明飛機在飛行時機翼為什麼會受到舉力。當氣流吹過機翼時，下表面的流速較上表面的低，根據伯努利定理推出，下表面的壓力將高於上表面的壓力，由此產生了向上的舉力。

在水力學和應用流體力學中的應用

無粘性正壓流體在有勢外力作用下，作定常運動時，表達總能量沿流線守恆的一個定理。它是上述條件下運動方程的一個第一積分，又稱伯努利方程。定常流動的伯努利定理可寫成如下形式： ，　(1)

式中v為流速；為質量力F的勢，即，

其中p和ρ分別為流體的壓力和密度；C為積分常數，它沿同一條流線取同一常數值，不同流線可取不同的值，因此C是流線號碼Ψ 的函數。在不可壓縮均質重流體情形，方程(1)變為： (2)

或，　(3)

式中g為重力加速度;z為垂直高度; 。方程(2) 是瑞士數學家丹尼爾第一·伯努利（見伯努利家族）於1738年首先提出的，它實質上是能量守恆的數學表達式。左邊三項分別是單位質量流體的動能、勢能和壓力能。整個式子表示單位質量流體的總能量（即動能、勢能和壓力能的總和）沿流線守恆。常數 C(Ψ)代表不同流線上的總能量。方程(3)的形式具有明顯的幾何意義。左邊第一項代表流體質點在真空中以初速v鉛直向上運動所能達到的高度，稱為速度頭；第二項代表流體質點在流線上所處的位置，稱為位勢頭；第三項相當於液柱底面壓力為p時液柱的高度，稱為壓力頭。按照方程(3)，速度頭、位勢頭和壓力頭之和沿流線不變，說明總水頭線是一水平直線（圖1）。由方程(2)可見，當勢能可忽略或沿流線勢能相等時，速度增大將導致壓力減小；反過來，速度減小將導致壓力增大。對於可壓縮絕熱完全氣體，伯努利定理在重力可忽略時具有如下形式：

，　(4)

式中為比熱比,、分別為定壓比熱和定容比熱。和不可壓縮情形相比，總能量中增加了內能，加上壓力能后給出單位質量流體的焓T，式中T為流體的熱力學溫度。

若運動是無旋的，則運動方程具有另一個第一積分： ，　(5)

式中為速度勢，由公式給出。f(t)為時間t的待定函數，對於某一固定時刻，f(t)在整個流場中取同一常數值，這和方程（1）只在流線上才取同一數值顯然不同。方程(5)稱為非定常的伯努利定理或拉格朗日積分。新增加的項 可解釋為單位質量的流體由靜止變為瞬態流動時所需衝壓的時間變化率。如果運動不但無旋而且還是定常的，則方程(5)簡化為： ，　(6)

式中C在流場內各點和各個時刻均取同一常數值。流體的總能量時時處處都是相同的。

應用於流管的平均速度和平均壓力

如果流管的橫截面積沿流動方向緩變，則在工程應用中常常對流管的平均速度和平均壓力應用伯努利定理。採用這樣的近似處理再加上流管的連續性方程常常能夠非常簡單地得到一些有用的結果。

在真實流體中機械能沿流線不守恆，粘性摩擦力所作的功耗散為熱能。因此在粘性流體中推廣伯努利定理時，必須考慮阻力造成的能量損失。

伯努利定理在水力學和應用流體力學中有著廣泛的應用。不僅如此，由於它是有限關係式，常用它來代替運動微分方程，因此在流體力學的理論研究中也有重要意義。