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對角化

對角化

設M為元素取自交換體K中的n階方陣,將M對角化,就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P,使M=PDP。設f為典範對應於M的K的自同態,將M對角化,就是確定K的一個基,使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。

基本簡介


對角化這個概念是針對矩陣而言的,並且矩陣的對角化源自於線形變換的化簡,所以最好先知道線性變換和線性變換與矩陣的對應關係(當然你看下去會發現不知道也可以)。
設一線性變換a,在基m下的矩陣為A,在基n下的矩陣為B,m到n的過渡矩陣為X,
那麼可以證明:
那麼定義:A,B是2個矩陣。如果存在可逆矩陣X,滿足 ,那麼說A與B是相似的(是一種等價關係)。
如果存在可逆矩陣X使A與一個對角矩陣B相似,那麼說A可對角化。
相應的,如果線性變換a在基m下的矩陣為A,並且A相似於對角矩陣B,那麼令X為過渡矩陣即可求出基n,並且在n下線性變換a的矩陣為對角矩陣,從而達到了化簡。