伯努利原理

適於理想流體（不存在摩擦阻力）。式中各項分別表示單位流體的動能、位能、靜壓能之差。

使用伯努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的解也是近似值。

● 定常流：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變。

● 不可壓縮流：密度為常數，在流體為氣體適用於馬赫數(Ma)<0.3。

● 無摩擦流：摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應。

● 流體沿著流線流動：流體元素沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的。

伯努利原理往往被表述為：

這個式子被稱為伯努利方程。式中，P為流體中某點的壓強，v為流體該點的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點所在高度，C是一個常量。它也可以被表述為：

丹尼爾·伯努利在1726年首先提出時的內容就是：在水流或氣流里，如果速度小，壓強就大，如果速度大，壓強就小。這個原理當然有一定的限制，但是在這裡我們不談它。下面是一些通俗些的解釋：

向AB管吹進空氣。如果管的切面小（像a處），空氣的速度就大；而在切面大的地方（像b處），空氣的速度就小。在速度大的地方壓力小，速度小的地方壓力大。因為a處的空氣壓力小，所以C管里的液體就上升；同時b處的比較大的空氣壓力使D管里的液體下降。

在圖69中，T管是固定在鐵制的圓盤DD上的；空氣從T管里出來以後，還要擦過另外一個跟T管不相連的圓盤dd。兩個圓盤之間的空氣的流速很大，但是這個速度越接近盤邊降低得越快，因為氣流從兩盤之間流出來，切面在迅速加大，再加上慣性在逐漸被克服，但是圓盤四周的空氣壓力是很大的，因為這裡的氣流速度小；而圓盤之間的空氣壓力卻很小，因為這裡的氣流速度大。因此圖盤周圍的空氣對圓盤的壓力較大，並試圖推開這兩個圓盤；結果是，從T管里吹出的氣流越強，圓盤dd被吸向圓盤DD的力也越大。

圖70和圖69相似，所不同的只是用了水。如果圓盤DD的邊緣是向上彎曲的，那麼在圓盤DD上迅速流動著的水會從原來比較低的水面自己上升到跟水槽里的靜水面一般高。因此圓盤下面的靜水就比圓盤上面的動水有更高的壓力，結果就使圓盤上升。軸P的用途是不讓圓盤向旁邊移動。

圖71畫的是一個飄浮在氣流里的很輕的小球。氣流衝擊著小球，不讓它落下來。當小球一跳出氣流，周圍的空氣就會把它推回到氣流里，因為周圍的空氣速度小，壓力大，而氣流里的空氣速度大，壓力小。

圖72中的兩艘船在靜水裡並排航行著，或者是並排地停在流動著的水裡。兩艘船之間的水面比較窄，所以這裡的水的流速就比兩船外側的水的流速高，壓力比兩船外側的小。結果這兩艘船就會被圍著船的壓力比較高的水擠在一起。海員們都很知道兩艘並排駛著的船會互相強烈地吸引。

如果兩艘船並排前進，而其中一艘稍微落後，像圖73所畫的那樣，那情況就會更加嚴重。使兩艘船接近的兩個力，會使船身轉向，並且船B轉向船A的力更大。在這種情況下，撞船是免不了的，因為舵已經來不及改變船的方向。

在圖72中所說的這種現象，可以用下面的實驗來說明。把兩個很輕的橡皮球照圖74那樣吊著。如果你向兩球中間吹氣，它們就會彼此接近，並且互相碰撞。

丹尼爾·伯努利出生於荷蘭的格羅寧根，16歲時獲藝術碩士學位，21歲時又獲得醫學博士學位。他曾申請解剖學和植物學教授職位，但未成功。

丹尼爾受父兄影響，一直很喜歡數學。1724年，他在去威尼斯的旅途中發表了《數學練習》-文，引起學術界關注，並被邀請到聖彼得堡科學院工作。1725年，25歲的丹尼爾受聘為聖彼得堡科學院生理學院士和數學院士。1727年，20歲的歐拉（後人將他與阿基米德、牛頓和高斯並列為數學史上的“四傑”）到聖彼得堡工作，成為丹尼爾的助手。

然而，丹尼爾不習慣聖彼得堡的生活，以至於8年以後的1733年，他找到機會返回巴塞爾，終於在那兒成為解剖學和植物學教授，后又成為物理學教授。

1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學院獎金，以後又10次獲得該獎金。能與丹尼爾媲美的只有大數學家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學術通信，在科學史上留下了一段佳話。

在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學領域較多的人。他出版了經典著作《流體動力學》，研究了彈性弦的橫向振動問題，提出了聲音在空氣中的傳播規律。他的論著還涉及天文學、地球引力、潮汐、磁學、振動理論、船體航行的穩定和生理學內容等。博學的丹尼爾成為伯努利家族的代表人物。

丹尼爾於1747年當選為柏林科學院院士，1748年當選巴黎科學院院士，1750年當選英國皇家學會會員。

1782年3月17日，丹尼爾·伯努利在瑞士巴塞爾逝世，終年82歲。

1912年的秋天，當時世界上最大的輪船之一、遠洋貨輪“奧林匹克號”正在大海上航行。突然，一艘比它小得多的鐵甲巡洋艦“豪克號”從後面追了上來，在離它100m的地方几乎跟它平行地疾馳。就在這時，一件意外的事情發生了：“豪克號”好像著了魔似的，竟然扭轉船頭朝“奧林匹克號”沖了過來，“豪克號”上的舵手怎麼操作也沒有用。結果，“奧林匹克號”無可奈何地接受了“豪克號”的親密接觸，並付出了極大的代價——船舷被“豪克號”撞了一個大洞。

在海事法庭審理這件奇案的時候，“奧林匹克號”的船長被判為有過失的一方，法院認為，這是因為他沒有發出任何命令給橫著撞過來的“豪克號”讓路。船長雖然感到自己很冤枉，但沒有辦法解釋，只好蒙冤受屈。案子就這樣結束了，但這件事情卻引起了一些科學家的注意，他們認為這次事件一定事出有因。

其實，早在1726年，有一個叫丹尼爾·伯努利（1700-1782）的人就已經注意到：如果水沿著一條有寬有窄的溝（或粗細不均的管子）向前流動，溝的較窄部分就流得快些，但水流對溝壁的壓力比較小；反之，在較寬的部分水就流得較慢，壓向溝壁的力則會比較大。這一發現，後來被人們稱為伯努利原理。

這個原理雖然發現得較早，但一直不被人們重視。出現了“奧林匹克號”被撞事件后，一些科學家突然想到，用這一原理來解釋這次事故是非常合情合理的。於是，自此以後伯努利原理才漸漸得到了它應受的重視。這是一條普遍性的原理，它不僅對於流動的水是適用的，而且對於流動的其他液體甚至氣體也適用。

應用舉例1

飛機為什麼能夠飛上天？因為機翼受到向上的升力。飛機飛行時機翼周圍空氣的流線分佈是指機翼橫截面的形狀上下不對稱，機翼上方的流線密，流速大，下方的流線疏，流速小。由伯努利方程可知，機翼上方的壓強小，下方的壓強大。這樣就產生了作用在機翼上的方向的升力。

應用舉例2

噴霧器是利用流速大、壓強小的原理製成的。讓空氣從小孔迅速流出，小孔附近的壓強小，容器里液面上的空氣壓強大，液體就沿小孔下邊的細管升上來。從細管的上口流出后，空氣流的衝擊，被噴成霧狀。

應用舉例3

汽油發動機的化油器，與噴霧器的原理相同。化油器是向汽缸里供給燃料與空氣的混合物的裝置，構造原理是指當汽缸里的活塞做吸氣衝程時，空氣被吸入管內，在流經管的狹窄部分時流速大，壓強小，汽油就從安裝在狹窄部分的噴嘴流出，被噴成霧狀，形成油氣混合物進入汽缸。

應用舉例4

球類比賽中的“旋轉球”具有很大的威力。旋轉球和不轉球的飛行軌跡不同，是因為球的周圍空氣流動情況不同造成的。不轉球水平向左運動時周同空氣的流線。球的上方和下方流線對稱，流速相同，上下不產生壓強差。再考慮球的旋轉，轉動軸通過球心且平行於地面，球逆時針旋轉。球旋轉時會帶動周同的空氣跟著它一起旋轉，致使球的下方空氣的流速增大，上方的流速減小，球下方的流速大，壓強小，上方的流速小，壓強大。跟不轉球相比，旋轉球因為旋轉而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。

應用舉例5

表示乒乓球的上旋球，轉動軸垂直於球飛行的方向且與檯面平行，球向逆時針方向旋轉。在相同的條件下，上旋球比不轉球的飛行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋轉，受到向上的力，比不轉球的飛行弧度要高。

應用舉例6

一支筆筒，向大口這邊吹氣，小口上放一個小球，小球能在空氣中旋轉。

應用舉例7

在漏斗寬大處放一小球，用手抵住，在小口中吹氣同時放開，小球上方的流線密，流速大，下方的流線疏，流速小，故小球不會落下，只會在漏斗中跳躍。

應用舉例8

壓氣機：燃氣渦輪發動機中利用高速旋轉的葉片給空氣作功以提高空氣壓力的部件。在動葉中，氣體相對速度減小，壓力升高，靜葉中絕對速度減小，使氣體靜壓升高。

應用舉例9

泥沙運動時，由於水流流動，泥沙顆粒頂部和底部的流速不同，前者為水流的運動速度，後者則為顆粒間滲透水的流動速度，比水流的速度要小得多，根據伯努利定律，頂部流速高，壓力小，底部流速低．壓力高。這樣造成的壓差產生了上舉力。