香農採樣定理

為了不失真地恢復模擬信號，採樣頻率應該不小於模擬信號頻譜中最高頻率的2倍。 f s≥2f max

採樣定理，又稱香農採樣定律、奈奎斯特採樣定律，是資訊理論，特別是通訊與信號處理學科中的一個重要基本結論.E. T. Whittaker（1915年發表的統計理論），克勞德·香農 與Harry Nyquist都對它作出了重要貢獻。另外，V. A. Kotelnikov 也對這個定理做了重要貢獻。

採樣是將一個信號（即時間或空間上的連續函數）轉換成一個數值序列（即時間或空間上的離散函數）。

採樣得到的離散信號經保持器后，得到的是階梯信號，即具有零階保持器的特性。

如果信號是帶限的，並且採樣頻率高於信號最高頻率的一倍，那麼，原來的連續信號可以從採樣樣本中完全重建出來。

帶限信號變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制，也就是說它的離散時刻採樣表現信號細節的能力是非常有限的。採樣定理是指，如果信號帶寬小於奈奎斯特頻率（即採樣頻率的二分之一），那麼此時這些離散的採樣點能夠完全表示原信號。高於或處於奈奎斯特頻率的頻率分量會導致 混疊現象。大多數應用都要求避免混疊，混疊問題的嚴重程度與這些混疊頻率分量的相對強度有關。

採樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。採樣定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。採樣定理是1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特採樣定理。1933年由蘇聯工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴格地表述這一定理，因此在蘇聯文獻中稱為科捷利尼科夫採樣定理。1948年資訊理論的創始人C.E.香農對這一定理加以明確地說明並正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農採樣定理。採樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時域採樣定理和頻域採樣定理。採樣定理在數字式遙測系統、時分制遙測系統、信息處理、數字通信和採樣控制理論等領域得到廣泛的應用。

時域採樣定理 頻帶為F的連續信號f(t)可用一系列離散的採樣值來表示，只要這些採樣點的時間間隔，便可根據各採樣值完全恢復原來的信號f(t)。時域採樣定理的另一種表述方式是：當時間信號函數f(t)的最高頻率分量為fM時,f(t)的值可由一系列採樣間隔小於或等於的採樣值來確定，即採樣點的重複頻率。圖為模擬信號和採樣樣本的示意圖。

時域採樣定理是採樣誤差理論、隨機變數採樣理論和多變數採樣理論的基礎。

頻域採樣定理對於時間上受限制的連續信號f(t)（），若其頻譜為F（ω）,則可在頻域上用一系列離散的採樣值來表示，只要這些採樣點的頻率間隔。

從信號處理的角度來看，此採樣定理描述了兩個過程：其一是採樣，這一過程將連續時間信號轉換為離散時間信號；其二是信號的重建，這一過程離散信號還原成連續信號。

連續信號在時間（或空間）上以某種方式變化著，而採樣過程則是在時間（或空間）上，以T為單位間隔來測量連續信號的值。T稱為採樣間隔。在實際中，如果信號是時間的函數，通常他們的採樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級。採樣過程產生一系列的數字，稱為樣本。樣本代表了原來地信號。每一個樣本都對應著測量這一樣本的特定時間點，而採樣間隔的倒數，即為採樣頻率，fs，其單位為樣本/秒，即赫茲(hertz)。

信號的重建是對樣本進行插值的過程，即，從離散的樣本x[n]中，用數學的方法確定連續信號x(t)。

從採樣定理中，可以得出以下結論：

如果已知信號的最高頻率fH，採樣定理給出了保證完全重建信號的最低採樣頻率。這一最低採樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特採樣率，通常表示為fN。

相反，如果已知採樣頻率，採樣定理給出了保證完全重建信號所允許的最高信號頻率。

以上兩種情況都說明，被採樣的信號必須是帶限的，即信號中高於某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近於零，這樣在重建信號中這些頻率成分的影響可忽略不計。在第一種情況下，被採樣信號的頻率成分已知，比如聲音信號，由人類發出的聲音信號中，頻率超過5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的頻率來採樣這樣的音頻信號就足夠了。在第二種情況下，得假設信號中頻率高於採樣頻率一半的頻率成分可忽略不計。這通常是用一個低通濾波器來實現的。

如果不能滿足上述採樣條件，採樣后信號的頻率就會重疊，即高於採樣頻率一半的頻率成分將被重建成低於採樣頻率一半的信號。這種頻譜的重疊導致的失真稱為混疊，而重建出來的信號稱為原信號的混疊替身，因為這兩個信號有同樣的樣本值。

一個頻率正好是採樣頻率一半的弦波信號，通常會混疊成另一相同頻率的波弦信號，但它的相位和幅度改變了。以下兩種措施可避免混疊的發生：

1. 提高採樣頻率，使之達到最高信號頻率的兩倍以上；

2. 引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器

抗混疊濾波器可限制信號的帶寬，使之滿足採樣定理的條件。從理論上來說，這是可行的，但是在實際情況中是不可能做到的。因為濾波器不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號，所以，採樣定理要求的帶寬之外總有一些“小的”能量。不過抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計。

當一個信號被減採樣時，必須滿足採樣定理以避免混疊。為了滿足採樣定理的要求，信號在進行減採樣操作前，必須通過一個具有適當截止頻率的低通濾波器。這個用於避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。

為了不失真地恢復模擬信號，採樣頻率應該大於模擬信號頻譜中最高頻率的2倍。

Fs>2Fmax

採樣率越高，稍後恢復出的波形就越接近原信號，但是對系統的要求就更高，轉換電路必須具有更快的轉換速度。

任何信號都可以看做是不同頻率的正弦（餘弦）信號的疊加，因此如果知道所有組成這一信號的正（餘弦）信號的幅值、頻率和相角，就可以重構原信號。由於信號測量、分解及時頻變換的過程中存在誤差，因此不能100%地重構原信號，重構的信號只能保證原信號誤差在容許範圍內。